Rozwiązanie:
[tex]f(x)=log(\pi ^{2}-x^{2})+\frac{1}{cos2x+sin2x}[/tex]
Na początek dziedzina logarytmu:
[tex]\pi ^{2}-x^{2}>0\\(\pi -x)(\pi +x)>0\\x \in (-\pi ,\pi )[/tex]
Teraz dziedzina ułamka:
[tex]cos2x+sin2x\neq 0\\sin(\frac{\pi}{2} -2x)+sin2x\neq 0\\2sin\frac{\frac{\pi}{2} -2x+2x}{2} *cos\frac{\frac{\pi}{2} -2x-2x}{2} =2sin\frac{\pi}{4} *cos(2x-\frac{\pi }{4} )=\sqrt{2} cos(2x-\frac{\pi}{4} )\neq 0\\cos(2x-\frac{\pi}{4} )\neq 0\\2x-\frac{\pi }{4} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\2x\neq \frac{3\pi }{4}+k\pi \\x\neq \frac{3\pi }{8} +\frac{k\pi }{2}[/tex]
Zatem w szczególności:
[tex]x\neq -\frac{5\pi }{8} \\x\neq -\frac{\pi }{8} \\x\neq \frac{3\pi }{8} \\x\neq \frac{7\pi }{8}[/tex]
Dziedziną funkcji jest zatem przedział:
[tex]x \in (-\pi ,-\frac{5\pi }{8} ) \cup (-\frac{5\pi }{8},-\frac{\pi }{8}) \cup (-\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}) \cup (\frac{3\pi }{8},\frac{7\pi }{8}) \cup (\frac{7\pi }{8},\pi )[/tex]
