Odpowiedź:
Rozpisana poniżej.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystam z działań na potęgach i wyciągam niższą potęgę przed nawias:
[tex]k=3^{44}-3^{4}=3^{40}*3^{4}-3^{4}=3^{4}*(3^{40}-1)=81*(3^{40}-1)\\[/tex]
Zauważ, że dla potęg trójki, cyfry jedności powtarzają się ze zwiększającym się wykładnikiem co 4 iteracje:
[tex]3^0=1\\3^1=3\\3^2=9\\3^3=27\\3^4=81\\3^5=243[/tex]
Dla kolejnych potęg cyfrą jedności będą odpowiednio 9, 7, 1, 3, 9, itd. Stąd możemy wydedukować, że dla 3^40 cyfrą jedności będzie 1 (bo 40 to wielokrotność 4, dla której mamy cyfrę jedności 1). Wróćmy teraz do naszego k=81*(3^40-1). Jeżeli od liczby, która ma cyfrę jedności 1 odejmiemy 1 (jak w nawiasie), to otrzymamy liczbę z cyfrą jedności 0. Jeżeli taką liczbę potem przemnożymy przez 81, na pewno otrzymamy też liczbę z cyfrą jedności 0, a więc podzielną przez 10. To kończy dowód.
Podobnie działam z m:
[tex]m=7^{777}-7^{77}=7^{700}*7^{77}-7^{77}=7^{77}*(7^{700}-1).[/tex]
Rozpiszmy kolejne potęgi 7:
[tex]7^0=1\\7^1=7\\7^2=49\\7^3=343\\7^4=2401\\7^5=16807\\[/tex]
Popatrzmy na 2 ostatnie cyfry tych liczb. Powtarzają się one znowu co 4 iteracje: 01,07,49,43,01, itd. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, zauważmy że liczba 7^700 będzie miała dwie ostatnie cyfry takie jak liczba 7^0 i 7^4, czyli 01. Pamiętając, że
m=7^77*(7^700-1)
Jeżeli od liczby z ostatnimi dwiema cyframi odejmiemy 1 (działanie w nawiasie), to otrzymamy liczbę z dwiema ostatnimi cyframi 00. Mnożąc taką liczbę przez 7^77 na pewno otrzymamy liczbę z dwoma zerami na końcu, a więc podzielną przez 100. To kończy dowód.
