15.
[tex]\left \{ {{a_1+2r=15\ \ |*-1} \atop {a_1+10r=-17}} \right. \\\left \{ {{-a_1-2r=-15} \atop {a_1+10r=-17}} \right. \\\\[/tex]
Sumujemy górę i dół
[tex]\\8r=-32\\r=-4[/tex]
wstawiamy r do poprzedniego równania
[tex]a_1+2*(-4) = 15\\a_1-8 = 15\\a_1=23[/tex]
podstawiamy pod wzór ogólny ciągu
[tex]a_n=a_1+(n-1)*r\\a_n = 23 + (n-1)*(-4)\\a_n = 23-4n+4\\a_n=-4n+27[/tex]
16.
[tex]2x^3-5x,x^2+x,3x+4\\[/tex]
a)
Wiedząc, że [tex]b=\frac{a+c}2[/tex] ⇒ [tex]2b = a+c[/tex]
(a,b,c to kolejne wyrazy ciągu)
[tex]2(x^2+x) = 2x^3-5x+3x+4\\2x^2 +2x = 2x^3-2x+4\\2x^3-2x^2-4x+4=0\\2x^2(x-1)-4(x-1)=0\\(2x^2-4)(x-1)=0[/tex]
Czyli
[tex]2x^2-4 = 0 \ \lor x-1=0\\x^2=2 \ \lor x=1\\x = \sqrt2 \ \lor x=-\sqrt2 \ \lor x=1[/tex]
Odpowiedź [tex]\sqrt2[/tex] oraz [tex]-\sqrt2[/tex] odrzucamy, ponieważ gdybyśmy podstawili te liczby pod x, to wyrazy ciągu nie byłyby liczbami całkowitymi (co było założeniem w zadaniu) ⇒ x=1
b)
Teraz podstawiamy 1 pod x
-3, 2, 7 ⇒ [tex]a_1[/tex] = -3, r = 7-2 = 5
[tex]a_n=a_1+(n-1)*r\\a_n = -3 + (n-1) *5\\a_n = -3+5n-5\\a_n=5n-8[/tex]
