Szczegółowe wyjaśnienie:
Jest to to nierówność kwadratowa i należy rozważyć przypadki:
1. Dla [tex]x\geq a[/tex] oraz [tex]a\geq 0[/tex]
Wartość bezwzględną opuścimy bez zmiany znaku:
[tex]x^2+4x-4a-a^2\geq 0\\\Delta=16-4\cdot1\cdot(-4a-a^2)=4a^2+16a+16[/tex]
Nierówność będzie spełniona dla [tex]\Delta\leq 0[/tex], więc:
[tex]4a^2+16a+16\leq 0\\4(a+2)^2\leq 0\\czyli \\a\in\{-2\}[/tex]
Nie jest to rozwiązanie.
2. Dla [tex]x\geq a[/tex] oraz [tex]a<0[/tex]
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymamy dokładnie to samo co w punkcie pierwszym, jednak będzie to rozwiązanie (założenie początkowe dla punktu drugiego).
3. Dla [tex]x< a[/tex] oraz [tex]a\geq 0[/tex]
Opuszczając wartość bezwzględną musimy zmienić znaki:
[tex]x^2-4x+4a-a^2\geq 0\\\Delta=16-4\cdot1\cdot(4a-a^2)=4a^2-16a+16[/tex]
Nierówność będzie spełniona dla [tex]\Delta\leq 0[/tex], więc:
[tex]4a^2-16a+16\leq 0\\4(a-2)^2\leq 0\\czyli\\a\in\{2\}[/tex]
Jest to rozwiązanie
4. Dla [tex]x<a[/tex] oraz [tex]a<0[/tex]
Opuszczając wartość bezwzględną otrzymamy to samo co w punkcie trzecim, lecz nie będzie to rozwiązanie (warunki początkowe).
W ten sposób wyznaczyliśmy krańce przedziałów zmian naszego parametru. Przeanalizujmy teraz zmiany parametru i argumentów wynikłych z naszych warunków brzegowych. Interesują nas punkt drugi oraz trzeci. Wstawiamy przykładowe wartości z poza przedziału [tex][-2 ; 2][/tex] oraz z jego wnętrza i dochodzimy do wniosku.
Nierówność jest spełniona dla [tex]-2\leq a\leq 2[/tex].
