Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Czworościan foremny to bryła składająca się z czterech trójkątów równobocznych. Wysokość H tego czworościanu opada na wysokość podstawy (h) w 2/3 jej długości.
Wiedząc, że wysokość w trójkącie równobocznym określona jest wzorem:
[tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex]
możemy wyznaczyć długość wysokości H korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
[tex]H^2+(\frac23h)^2=a^2\\\\H^2=a^2-\frac49h^2\\\\H^2=a^2-\frac{4}{9}\cdot(\frac{a\sqrt3}{2})^2\\\\H^2=a^2-\frac49\cdot\frac{3a^2}{4}\\\\H^2=a^2-\frac{a^2}{3}\\\\H^2=\frac{3a^2}{3}-\frac{a^2}{3}\\\\H^2=\frac{2a^2}{3}\\\\H=\sqrt{\frac23a^2}\\\\H=\frac{\sqrt2a}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3}\\\\a=\sqrt2\\\\H=\frac{\sqrt2\cdot\sqrt6}{3}=\frac{\sqrt{12}}{3}=\frac13\sqrt{12}[/tex]