Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Parabola:
[tex]y=-x^2-x-2[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]y'=-2x-5[/tex]
Korzystamy z tego, że tanegens kąta nachylenia prostej do osi [tex]OX[/tex] jest równy [tex]a[/tex] oraz, że [tex]a=f'(x_{0})[/tex]:
Pierwsza styczna:
[tex]\alpha =45[/tex]° [tex]\Rightarrow a=f'(x_{0})=1[/tex]
[tex]f'(x_{0})=-2x_{0}-5=1\\-2x_{0}=6\\x_{0}=-3\\f(x_{0})=-9+15-2=4\\y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})=(x+3)+4=x+7[/tex]
Druga styczna:
[tex]\alpha =180[/tex]°[tex]-45[/tex]° [tex]\Rightarrow a=f'(x_{0})=-1[/tex]
[tex]f'(x_{0})=-2x_{0}-5=-1\\-2x_{0}=4\\x_{0}=-2\\f(x_{0})=-4+10-2=4\\y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})=-(x+2)+4=-x+2[/tex]
Teraz łatwo wyznaczymy współrzędne punktów [tex]C[/tex] oraz [tex]D[/tex], gdyż są to po prostu punkty styczności. Z pierwszej stycznej:
[tex]D=(x_{0},f(x_{0}))=(-3,4)\\[/tex]
Z drugiej:
[tex]C=(x_{0},f(x_{0}))=(-2,4)[/tex]
Teraz skorzystamy z informacji, że w trapez da się wpisać okrąg. Obliczmy długość odcinka [tex]|CD|[/tex] :
[tex]|CD|=|-3-(-2)|=|-1|=1[/tex]
Niech [tex]x[/tex] będzie wysokością trapezu. Wówczas z powyższej własności otrzymamy następującą zależność (pamiętajmy, że kąt ostry ma miarę [tex]45[/tex]°):
[tex]2x+2=2\sqrt{2}x\\x+1=x\sqrt{2} \\x(1-\sqrt{2})=-1\\x=\frac{-1}{1-\sqrt{2} }=\frac{-(\sqrt{2}+1) }{-1} =\sqrt{2}+1[/tex]
Stąd od razu wynika, że ramiona trapezu muszą mieć długości [tex]\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=2+\sqrt{2}[/tex].
Wiadomo, że punkt [tex]A[/tex] należy do prostej [tex]y=x+7[/tex], więc możemy zapisać, że [tex]A=(x,x+7)[/tex]. Teraz szukamy punktów leżących na tej prostej i odległych od punktu [tex]D[/tex] o wartość długości ramienia:
[tex]|AD|=\sqrt{(-3-x)^{2}+(4-x-7)^{2}}=\sqrt{2(x+3)^{2}} =\sqrt{2} |x+3|=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)\\|x+3|=\sqrt{2}+1\\x+3=\sqrt{2}+1 \vee x+3=-\sqrt{2}-1\\x=\sqrt{2}-2 \vee x=-\sqrt{2}-4[/tex]
Ze względu na warunki geometryczne zadania pierwsze rozwiązanie odrzucamy. Zatem:
[tex]A=(-\sqrt{2}-4,-\sqrt{2}+3)[/tex]
Tak samo postępujemy z punktem [tex]B[/tex]:
[tex]B=(x,-x+2)[/tex]
[tex]|BC|=\sqrt{(-2-x)^{2}+(4+x-2)^{2}} =\sqrt{2(x+2)^{2}}=\sqrt{2} |x+2|=\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)\\|x+2|=\sqrt{2}+1\\x+2=\sqrt{2}+1 \vee x+2=-\sqrt{2}-1\\x=\sqrt{2} -1 \vee x=-\sqrt{2} -3[/tex]
Drugie rozwiązanie odrzucamy, zatem:
[tex]B=(\sqrt{2}-1,-\sqrt{2} +3)\\[/tex]
