Rozwiązanie:
Na początek porządkujemy równanie:
[tex]mx+8=2m+x^{3}\\x^{3}-mx+2m-8=0[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex]W(2)=8-2m+2m-8=0\\[/tex]
Zatem [tex]x=2[/tex] jest rozwiązaniem tego równania niezależnie od parametru [tex]m[/tex]. Po podzieleniu przez dwumian [tex](x-2)[/tex] (np. schematem Hornera) otrzymamy:
[tex](x-2)(x^{2}+2x+4-m)=0[/tex]
Teraz zajmiemy się trójmianem kwadratowym. Trójmian musi mieć dwa różne rozwiązania, więc:
[tex]\Delta>0\\\Delta =4-4(4-m)=4-16+4m=4m-12\\4m-12>0\\m-3>0\\m>3[/tex]
Pozostaje nam jeszcze zbadać, czy przypadkiem dla jakiegoś [tex]m[/tex] rozwiązaniem nie będzie [tex]x=2[/tex], gdyż wtedy równanie miałoby tylko dwa rozwiązania.
Obliczamy miejsca zerowe:
[tex]x_{1}=\frac{-2-\sqrt{4m-12} }{2} \\x_{2}=\frac{-2+\sqrt{4m-12} }{2} \\[/tex]
Zatem:
[tex]x_{1}\neq 2\\\frac{-2-\sqrt{4m-12} }{2} \neq 2\\[/tex]
Widać, że skoro [tex]\Delta>0[/tex], to [tex]x_{1}<0[/tex], co czyni to równanie sprzecznym.
Dalej mamy:
[tex]x_{2}\neq 2\\\frac{-2+\sqrt{4m-12} }{2} \neq 2\\-2+\sqrt{4m-12} \neq 4\\\sqrt{4m-12} \neq 6\\4m-12\neq 36\\4m\neq 48\\m\neq 12[/tex]
Zatem ostatecznie:
[tex]m \in (3,12) \cup (12,\infty)[/tex]
