Odpowiedź:
a₁ = x + 2
a₂ = 3x + 1
a₃ = 6x + 2
a₃/a₂ = a₂/a₁
(6x + 2)/(3x + 1) = (3x + 1)/(x + 2)
założenie:
3x + 1 ≠ 0 ∧ x + 2 ≠ 0
3x ≠ - 1 ∧ x ≠ - 2
x ≠ - 1/3 ∧ x ≠ - 2
D: x ∈ R \ { - 2 , - 1/3 }
(3x + 1)² = (6x + 2)(x + 2)
9x² + 6x + 1 = 6x² + 2x + 12x + 4
9x² + 6x + 1 = 6x² + 14x + 4
9x² - 6x² + 6x - 14x + 1 - 4 = 0
3x² - 8x - 3 = 0
a = 3 , b = - 8 , c = - 3
Δ = b² - 4ac = (- 8)² - 4 * 3 * (- 3) = 64 + 36 = 100
√Δ = √100 = 10
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (8 - 10)/6 = - 2/6 = - 1/3 nie należy do dziedziny
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (8 + 10)/6 = 18/6 = 3
a₁ = x + 2 = 3 + 2 = 5
a₂ = 3x + 1 = 3 * 3 + 1 = 9 + 1 = 10
a₃ = 6x + 2 = 6 * 3 + 2 = 18 + 2 = 20
q - iloraz ciągu = a³/a² = 20/10 = 2
an = a₁ * qⁿ⁻¹ = 5 * 2ⁿ⁻¹
(x+2 , 3x+1 , 6x+2) - ciąg geometryczny
Kwadrat środkowego wyrazu tego ciągu jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich .
(3x+1)²=(x+2)(6x+2)
9x²+6x+1=6x²+2x+12x+4
9x²+6x+1-6x²-2x-12x-4=0
3x²-8x-3=0
Δ=(-8)²-4·3·(-3)=64+36=100 , √Δ=√100=10
x1=(8-10)/6
x1=-1/3
x2=(8+10)/6
x2=3
Dla x=-1/3 , mamy : ( 1 1/3 , 0 , 0 ) - to nie jest ciąg geometryczny
Dla x=3 , mamy : (5 , 10 , 20 ) .
Korzystamy z wzoru : an=a1q^(n-1) , gdzie a1=5 . q=10/5=2 .
an=5·2^(n-1)
an=5·2^n·2^-1
an=5/2·2^n