Rozwiązanie:
[tex]y=\frac{2}{x}\\A=(-2,-1)\\B=(-1,-2)[/tex]
Punkt [tex]C[/tex] należy do hiperboli, więc możemy zapisać, że:
[tex]C=(x,\frac{2}{x})[/tex] gdzie [tex]x>0[/tex].
Obliczamy pole trójkąta (ze wzoru na pole trójkąta o danych wierzchołkach):
[tex]P(x)=\frac{1}{2}|(-1+2)(\frac{2}{x}+1 )-(-2+1)(x+2)| =\frac{1}{2}|\frac{2}{x}+1+x+2 |=\frac{1}{2}|x+\frac{2}{x}+3 | =\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]P'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{x^{2}}[/tex]
Zerujemy pochodną:
[tex]P'(x)=0 \iff \frac{1}{2}-\frac{1}{x^{2}}=0\\\frac{1}{2}=\frac{1}{x^{2}}\\2=x^{2} \\x=-\sqrt{2} \notin D \vee x=\sqrt{2} \in D[/tex]
Szkicujemy wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]P'(x)>0 \ dla \ x \in (\sqrt{2} ,\infty)\\P'(x)=0 \ dla \ x=\sqrt{2}\\P'(x)<0 \ dla \ x=(0,\sqrt{2})[/tex]
To oznacza, że:
[tex]P(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in <\sqrt{2},\infty)[/tex]
[tex]P(x)[/tex] maleje dla [tex]x \in (0,\sqrt{2}>[/tex]
Stąd wynika, że funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]x=\sqrt{2}[/tex]. Zatem:
[tex]C=(\sqrt{2} ,\frac{2}{\sqrt{2} } ) \rightarrow C=(\sqrt{2} ,\sqrt{2} )[/tex]
