Odpowiedź:
Będę używał oznaczeń z dołączonego przeze mnie rysunku.
Zauważmy na początku, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Oznacza to, że wszystkie odcinki AB, BC, CD, DE, EF, FA mają długość 4, ale także odcinki AM, BM, CM, DM, EM, FM również mają długość 4.
Zauważmy, że wewnętrzny sześciokąt (GHIJKL) też jest foremny. Jego boki mają jakąś długość x, tak samo długość x mają odcinki GM, HM, IM, JM, KM, LM (na rysunku zaznaczone tylko dwa z nich, dla zachowania czytelności). Jednocześnie, odcinek GM ([tex]|GM|=x[/tex]) jest też wysokością trójkąta ABM (jest to trójkąt równoboczny o boku długości [tex]a=4[/tex]).
Połączmy fakty:
Jeżeli obliczymy wysokość trójkąta ABM, uzyskamy długość odcinka GM, który jest jednocześnie bokiem trójkąta równobocznego GLM. W ten sposób poznamy długość boku wewnętrznego sześciokąta.
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego ABM:
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{4}[/tex]
Podstawiamy [tex]a=4[/tex]:
[tex]h=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt3[/tex]
Jednocześnie wysokość tego trójkąta to szukany odcinek x, [tex]h=x[/tex]. Stąd
[tex]x=\sqrt3\text{ cm}[/tex], odpowiedź B.
