Odpowiedź:
1. Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej: [tex]\sin^2\alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex].
[tex]\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\\\cos^2\alpha=1-(\frac{2}{3})^2\\\cos^2\alpha=1-\frac{4}{9}\\\cos^2\alpha=\frac{5}{9}[/tex]
Wiemy, że [tex]\alpha[/tex] jest kątem ostrym, co oznacza, że [tex]\cos\alpha>0[/tex]. Zatem
[tex]\cos\alpha=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex]
Tangens obliczamy następująco: [tex]\rm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
[tex]\rm{tg}\,\alpha=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt5}[/tex].
2. [tex]\sin\alpha=\frac{3}{5}[/tex], [tex]\alpha \in (90^{\circ}; 180^{\circ})[/tex]
Kąt [tex]\alpha[/tex] należy do drugiej ćwiartki układu współrzędnych, w której tylko sinus jest dodatni. Wiemy zatem, że cosinus i tangens będą ujemne.
Cosinusa obliczamy, jak wyżej, z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha\\\cos^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2\\\cos^2\alpha=1-\frac{9}{25}\\\cos^2\alpha=\frac{16}{25} \land \cos\alpha<0\\\Rightarrow\cos\alpha=-\frac{4}{5}[/tex]
Obliczamy [tex]\rm{tg}\,\alpha[/tex]:
[tex]\rm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}=\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{-4}=-\frac{3}{4}[/tex].
3. Aby obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta [tex]\alpha[/tex], skorzystamy z kąta [tex]\beta=180^{\circ}-\alpha[/tex] (patrz rysunek).
Spójrzmy na trójkąt COQ. Jest to trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest odcinek OQ. Musimy obliczyć jego długość.
Korzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/tex], gdzie [tex]A=(x_1,y_1),\,\,B=(x_2, y_2)[/tex].
Weźmy punkty [tex]O=(0,0),\,Q=(-2,6)[/tex]. Wówczas
[tex]|OQ|=\sqrt{(-2-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}[/tex]
Potrzebujemy też długości odcinków CO i CQ, ale możemy je łatwo odczytać z rysunku:
[tex]|CO|=2\\|CQ|=6[/tex].
Teraz wykorzystamy definicję funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
[tex]\sin\beta = \frac{|CQ|}{|OQ|} = \frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex]
[tex]\cos\beta=\frac{|CO|}{|OQ|}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]
Pamiętajmy, że [tex]\beta=180^{\circ}-\alpha[/tex]. Aby uzyskać wartości [tex]\sin\alpha\text{ i }\cos\alpha[/tex], skorzystamy ze wzorów redukcyjnych:
[tex]\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha[/tex]
Stąd
[tex]\sin\alpha=\sin\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}[/tex]
[tex]\cos\alpha=-\cos\beta=-\frac{\sqrt{10}}{10}[/tex]
Obliczmy jeszcze [tex]\rm{tg}\,\alpha[/tex]:
[tex]\rm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{-\sqrt{10}}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{10}{-\sqrt{10}}=-3[/tex].
