Dane jest równanie kwadratowe [tex]y^2-(3n+2)y+2n^2+7n-15=0[/tex] z niewiadomą [tex]y[/tex]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [tex]n[/tex], dla których różne rozwiązania [tex]y_1[/tex] i [tex]y_2[/tex] tego równania istnieją i spełniają warunek [tex]2y^2_1+5y_1y_2+2y_2^2=2[/tex].

+ sposób rozwiązania

[tex]y_1^2+y_2^2=(y_{1}+y_{2})^{2}-2y_{1}y_{2}= \left(-\frac{b}{a} \right) ^2-2\cdot\frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-2\cdot\frac{c^2}{a^2}=\frac{b^2-2ac}{a^2}[/tex]

[tex]2y_1^2+5y_1y_2+2y_2^2=2(y_1^2+y_2^2)+5\cdot \frac{c}{a}=2\cdot\frac{b^2-2ac}{a^2}+ \frac{5c}{a}[/tex]

[tex]2\cdot\frac{[-(3n+2)]^2-2\cdot1\cdot(2n^2+7n-15)}{1^2}+ \frac{5(2n^2+7n-15)}{1}=2[/tex]

[tex]2\cdot(9n^2+12n+4-4n^2-14n+30)+10n^2+35n-75=2[/tex]

[tex]18n^2+24n+8-8n^2-28n+60+10n^2+35n-75-2=0[/tex]

[tex]20n^2 + 31n - 9=0[/tex]

[tex]\Delta=31^2-4\cdot20\cdot(-9)=961+720=1681[/tex]

[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{1681}=41[/tex]

[tex]n_1=\frac{-31-41}{2\cdot20}=\frac{-72}{40}=-\frac{9}{5}[/tex]

[tex]n_2=\frac{-31+41}{2\cdot20}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}[/tex]

Z 1 i 2

[tex]n\in \left\{-\frac{9}{5}; \frac{1}{4}\right\} [/tex]

Louie314 Louie314 · Answer 2 · 2021-04-11T14:36:36+02:00

Rozwiązanie:

[tex]y^{2}-(3n+2)y+2n^{2}+7n-15=0[/tex]

Najpierw musimy odpowiedzieć sobie na pytanie - kiedy równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania? Jest tak tylko i tylko wtedy, gdy [tex]\Delta >0[/tex]. Zatem musimy obliczyć wyróżnik trójmianu i sprawdzić, dla jakich [tex]n[/tex] zachodzi powyższa nierówność. Mamy:

[tex]\Delta=(3n+2)^{2}-4*1*(2n^{2}+7n-15)=9n^{2}+12n+4-8n^{2}-28n+60=n^{2}-16n+64[/tex]

Musi zachodzić więc warunek:

[tex]\Delta >0 \iff n^2-16n+64>0\\(n-8)^{2}>0\\n\neq 8[/tex]

Pozostaje nam jeszcze drugi warunek postawiony w zadaniu:

[tex]2y_{1}^{2}+5y_{1}y_{2}+2y^{2}=2[/tex]

Spróbujmy nieco go przekształcić:

[tex]2(y_{1}^{2}+2y_{1}y_{2}+y_{2}^{2})+y_{1}y_{2}=2\\2(y_{1}+y_{2})^{2}+y_{1}y_{2}-2=0[/tex]

Teraz możemy już skorzystać ze wzorów Viete'a:

[tex]y_{1}+y_{2}=-\frac{b}{a} =\frac{3n+2}{1} =3n+2\\y_{1}y_{2}=\frac{c}{a}=2n^{2}+7n-15=0[/tex]

Wstawiamy to do warunku:

[tex]2(3n+2)^{2}+2n^{2}+7n-15-2=0\\2(9n^{2}+12n+4)+2n^{2}+7n-17=0\\18n^{2}+24n+8+2n^{2}+7n-17=0\\20n^{2}+31n-9=0\\\Delta=961-4*20*(-9)=1681\\\sqrt{\Delta}=41\\n_{1}=\frac{-31+41}{40}=\frac{1}{4}\\n_{2}=\frac{-31-41}{40}=-\frac{9}{5}[/tex]

Oba rozwiązania są różne od [tex]8[/tex], więc spełniają warunki zadania.

Ostateczna odpowiedź:

[tex]n=-\frac{9}{5} \vee n=\frac{1}{4}[/tex]