Rozwiązanie:
Niech długościami boków trójkąta będą liczby [tex]a, a+r,a+2r[/tex]. Wówczas oczywiste jest, że:
[tex]a^{2}+(a+r)^{2}=(a+2r)^{2}\\a^{2}+a^{2}+2ar+r^{2}=a^{2}+4ar+4r^{2}\\2a^{2}+2ar+r^{2}-a^{2}-4ar-4r^{2}=0\\a^{2}-2ar-3r^{2}=0[/tex]
Ponadto promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy:
[tex]R=\frac{a+2r}{2}=5\\a+2r=10\\a=10-2r\\[/tex]
Wstawiamy to do pierwszego równania:
[tex](10-2r)^{2}-2r(10-2r)-3r^{2}=0\\100-40r+4r^{2}-20r+4r^{2}-3r^{2}=0\\5r^{2}-60r+100=0\\r^{2}-12r+20=0\\\Delta=144-4*1*20=64\\r_{1}=\frac{12+8}{2} =10\\r_{2}=\frac{12-8}{2}=2[/tex]
Zatem:
[tex]a_{1}=10-2*10=-10\\a_{2}=10-2*2=6[/tex]
Od razu widać, że pierwszą parę rozwiązań należy odrzucić, gdyż bok trójkąta nie może być ujemny. Obliczamy obwód trójkąta:
[tex]Obw.=a+a+r+a+2r=3a+3r=3(a+r)=3(6+2)=3*8=24[/tex]
