Rozwiązanie:
Niech [tex]S[/tex] będzie środkiem tego okręgu. Wiadomo, że punkt ten leży na przecięciu się dwusiecznych kątów trapezu. Niech punkty [tex]P[/tex], [tex]K[/tex] oraz [tex]N[/tex] będą odpowiednio punktami styczności tego okręgu z bokami [tex]CD[/tex], [tex]AB[/tex] oraz [tex]BC[/tex] trapezu. Ponadto niech [tex]\angle SCP=\alpha , \angle SBK=\beta[/tex]. Wówczas również:
[tex]\angle SCB=\alpha, \angle SBC=\beta[/tex]
Dalej mamy:
[tex]\angle PSC=\angle CSN =90-\alpha \\\angle BSK=\angle BSN=90-\beta[/tex]
Kąt [tex]\angle PSK[/tex] to kąt półpełny. Możemy więc zapisać, że:
[tex]2(90-\alpha )+2(90-\beta )=180\\90-\alpha +90-\beta =90\\-\alpha -\beta =-90\\\alpha +\beta =90[/tex]
Stąd:
[tex]\angle BSC=90-\alpha +90-\beta =90[/tex]
Ten wywód zaprezentowałem tylko po to, aby pokazać, że trójkąt [tex]BSC[/tex] jest prostokątny. Skoro tak, to odcinek [tex]|SN|=r[/tex] jest wysokością tego trójkąta, a jak wiadomo wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego można łatwo obliczyć jako średnią geometryczną odcinków, na które dzieli ona przeciwprostokątną (wynika to z podobieństwa trójkątów), stąd:
[tex]r=\sqrt{kl}[/tex]
