Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
f(x) = (x²+1) / (x²-1)
1) D = R \ {-1,1}
2) m. zerowe: brak
3) f(0) = -1
P=(0,-1) - punkt przecięcia z osią OY
4) Granice na krańcach dziedziny:
lim x->1⁺ f(x) = 2/0⁺ = +∞
lim x->1⁻ f(x) = 2/0⁻ = -∞
lim x->-1⁺ f(x) = 2/0- = -∞
lim x->-1⁻ f(x) = 2/0⁺ = +∞
lim x->∞ f(x) = 1
lim x->-∞ f(x) = 1
5) Asymptoty:
x = -1, x = 1 - asymptoty pionowe
lim x->∞ f(x) = 1
lim x->-∞ f(x) = 1
y = 1 - asymptota pozioma
y = ax + b - asymptota ukośna
a = lim x->∞ f(x) / x = lim x->∞ (x²+1) / (x³-x) = 0 / 1 = 0
brak asymptoty ukośnej
6) Przedziały monotoniczności:
f'(x) > 0
(2x(x²-1) - (x²+1)(2x)) / (x²-1)² > 0
(2x³ - 2x - 2x³ - 2x) / (x²-1)²)> 0
-4x / (x²-1)² > 0
x < 0
f. rosnąca w przedziałach (-∞; -1) i (-1; 0)
f. malejąca w przedziałach (0; 1) i (1; +∞)
7) Ekstrema lokalne:
-4x / (x²-1)² = 0
x = 0
P = (0,-1) - maksimum lokalne
8) Przedziały wklęsłości i wypukłości:
f''(x) > 0
(-4x / (x²-1)²)' > 0
(-4(x²-1)² - (-4x)*2(x²-1)*(2x) ) / (x²-1)⁴ > 0
-4(x²-1)² - (-4x)*2(x²-1)*(2x) > 0
(x²-1)(-4(x²-1) + 16x²) > 0
(x²-1)(12x²+4) > 0
4(x-1)(x+1)(3x²+1) > 0
x₁ = 1, x₂ = -1
x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)
f. wypukła w przedziałach (-∞; -1) i (1; +∞)
f. wklęsła w przedziale (-1; 1)
9) Punkty przegięcia:
Brak punktów przegięcia.
