Rozwiązanie:
Okrąg:
[tex]x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0[/tex]
Wyznaczamy środek i promień okręgu:
[tex]S=(-1,2)\\r=\sqrt{1+4-3}=\sqrt{2}[/tex]
Punkt:
[tex]A=(1,0)[/tex]
Zapisujemy równanie prostej (stycznej), która przechodzi przez punkt [tex]A[/tex]:
[tex]y=ax+b\\0=a+b\\b=-a\\y=ax-a\\ax-y-a=0[/tex]
Teraz wyznaczymy współczynniki kierunkowe stycznych, korzystając z tego, że odległość stycznej od środka okręgu musi wynosić [tex]r[/tex]:
[tex]d=\frac{|-a-2-a|}{\sqrt{a^{2}+1} } =\sqrt{2}\\|2a+2|=\sqrt{2a^{2}+2} \\4a^{2}+8a+4=2a^{2}+2\\2a^{2}+8a+2=0\\a^{2}+4a+1=0\\\Delta=16-4*1*1=12\\a_{1}=\frac{-4-2\sqrt{3} }{2} =-2-\sqrt{3}\\a_{2}=\frac{-4+2\sqrt{3} }{2}=-2+\sqrt{3}[/tex]
Pozostaje nam wyznaczyć szukany kąt. Skorzystamy ze wzoru na kąt między dwiema prostymi:
[tex]tg\alpha =|\frac{a_{1}-a_{2}}{1+a_{1}a_{2}}|=|\frac{-2-\sqrt{3}+2-\sqrt{3} }{1-(2+\sqrt{3})(-2+\sqrt{3}) } |=|\frac{-2\sqrt{3} }{1+4-3} |=|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}[/tex]
Stąd:
[tex]\alpha =60[/tex]°
