Cześć!
Niech nasza liczba to [tex]n[/tex] i [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Skoro liczba przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, to można ją zapisać w postaci [tex]m=7n+5[/tex] i [tex]m \in \mathbb{N}[/tex].
Podnosimy liczbę do kwadratu używając wzoru skróconego mnożenia i uzyskujemy:
[tex]m^2 = (7n+5)^2 = 49n^2 + 70n + 25[/tex]
Teraz chcemy pokazać, że liczba [tex]m^2[/tex] daje się zapisać w postaci [tex]m^2= 7k+4[/tex], dla [tex]k \in \mathbb{N}[/tex]
Zapisujemy tą liczbę tak, aby móc wyłączyć przed nawias 7:
[tex]m^2 = 49n^2+70n+25 = 7(7n^2+10n+3) + 4[/tex], a to można zapisać w postaci [tex]m^2 = 7k+4[/tex], czego należało dowieść.
Pozdrawiam!