Odpowiedź:
Nie, nie jest to prawdą.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dane:
[tex]f(x)=ax+b\\f(f(x))=x \ dla \ x \in \mathbb{R}[/tex]
Stąd:
[tex]f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^{2}x+ab+b=x[/tex]
Zatem muszą zachodzić następujące warunki:
[tex]a^{2}=1 \wedge ab+b=0\\a=-1 \vee a=1 \wedge b(a+1)=0\\(a=-1 \vee a=1) \wedge (b=0 \vee a=-1)[/tex]
Zatem na pewno [tex]b=0[/tex]. Nietrudno zauważyć, że gdy [tex]a=-1[/tex], to [tex]f(f(x))=x[/tex], a [tex]f(x)=-x[/tex].
Zatem nie zawsze zachodzi podany w zadaniu warunek, czego potwierdzeniem jest podany przez nas przykład.
