Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Z własności trójkąta [tex]30[/tex]°, [tex]60[/tex]°, [tex]90[/tex]°, czyli z trójkąta [tex]EOB[/tex] mamy:
[tex]|OB|=|OC|=\frac{a\sqrt{2} }{2}\\|EO|=\frac{a\sqrt{6} }{6}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa trójkącie [tex]OEC[/tex]:
[tex](\frac{a\sqrt{6} }{6})^{2}+|EC|^{2}=(\frac{a\sqrt{2} }{2})^{2}\\\frac{a^{2}}{6}+|EC|^{2}=\frac{a^{2}}{2} \\|EC|^{2}=\frac{a^{2}}{3} \\|EC|=\frac{a\sqrt{3} }{3}[/tex]
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych [tex]SOC[/tex] i [tex]OEC[/tex] ([tex]kkk[/tex]) mamy:
[tex]\frac{6}{\frac{a\sqrt{6} }{6} } =\frac{\frac{a\sqrt{2} }{2} }{\frac{a\sqrt{3} }{3} } \\2a\sqrt{3}=\frac{a^{2}\sqrt{12} }{12} \\24a\sqrt{3} =a^{2}*2\sqrt{3} \\12a=a^{2}\\a=12[/tex]
Obliczamy objętość ostrosłupa:
[tex]V=\frac{1}{3}P_{p}H=\frac{1}{3}*144*6=288[/tex]
