Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Na początek obliczamy [tex]c[/tex] z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]c^{2}=(2r)^{2}+(\frac{a-b}{2})^{2}\\c^{2}=4r^{2}+\frac{(a-b)^{2}}{4} \\c^{2}=\frac{16r^{2}+(a-b)^{2}}{4} \\c=\frac{\sqrt{16r^{2}+(a-b)^{2}} }{2}[/tex]
Teraz korzystamy z własności czworokąta opisanego na okręgu:
[tex]a+b=2c[/tex]
Podstawiamy dane:
[tex]a+b=2*\frac{\sqrt{(16r^{2}+(a-b)^{2}}}{2} \\a+b=\sqrt{(16r^{2}+(a-b)^{2}}\\(a+b)^{2}=16r^{2}+(a-b)^{2}\\16r^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}\\16r^{2}=4ab\\4r^{2}=ab[/tex]
co kończy dowód.
Przy okazji wykazaliśmy ciekawą własność - otóż średnica okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa średniej geometrycznej długości jego podstaw.
