Odpowiedź:
5. Udowodnij tożsamość
a. [tex]\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\frac{1}{\rm{tg}^2\,\alpha}[/tex]
Wykorzystamy jedynkę trygonometryczną: [tex]\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1[/tex]
Stąd [tex]1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha[/tex] oraz [tex]1-\cos^2\alpha = \sin^2\alpha[/tex]. Podstawiamy po lewej stronie i mamy
[tex]\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\rm{tg}^2\,\alpha}[/tex]
Zauważmy, że [tex]\text{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \iff \text{tg}^2\,\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}[/tex]. Mamy
[tex]\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{1}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}[/tex]
[tex]\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}[/tex]
L=P, co dowodzi tożsamości.
b.
[tex]\frac{\cos^2\alpha}{1+\sin\alpha}=1-\sin\alpha \quad ||\cdot(1+\sin\alpha)\\\cos^2\alpha = (1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej zamieniamy [tex]\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha[/tex]
[tex]1-\sin^2\alpha=(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)[/tex]
Zauważmy, że mamy tutaj wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów [tex]\left( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \right)[/tex], co dowodzi, że równość jest zawsze prawdziwa, co kończy dowód.
c. [tex]\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=\text{ctg}\,\alpha[/tex]
Zamieniamy w liczniku, z jedynki trygonometrycznej, [tex]1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha[/tex]. Mamy
[tex]\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cdot\cos\alpha}=\text{ctg}\,\alpha[/tex]
Skracają się sinusy i zostajemy po lewej stronie z postacią [tex]\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex].
I tu pojawia się problem, bo, jak już wyżej wskazałem, [tex]\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\text{tg}\,\alpha[/tex], a nie [tex]\text{ctg}\,\alpha[/tex]. Podejrzewam, że gdzieś w zadaniu pojawił się błąd, w każdym razie w tej postaci udowadniamy tyle, że równanie nie jest tożsamością trygonometryczną.
6. Sprawdź, czy prawdziwa jest zależność
a. [tex](\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - (\sin\alpha + \cos\alpha)^2=1[/tex]
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, obliczamy po lewej stronie:
[tex]\underline{\sin^2\alpha}-2\sin\alpha\cos\alpha+\underline{\cos^2\alpha}-(\underline{\sin^2\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha+\underline{\cos^2\alpha})\\=\underline{1}-2\sin\alpha\cos\alpha-(\underline{1}+2\sin\alpha\cos\alpha)=1-2\sin\alpha\cos\alpha-1-2\sin\alpha\cos\alpha\\=-4\sin\alpha\cos\alpha \neq 1[/tex]
Widzimy, że L ≠ P.
b. [tex]1+\text{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex]
Pamiętamy, że [tex]\text{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex]. Stąd po lewej stronie
[tex]1 + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha}[/tex]
Widzimy, że po lewej stronie osiągnęliśmy postać identyczną jak po prawej, zatem jest to tożsamość.
c. [tex](\text{tg}\,\alpha-1)(\text{ctg}\,\alpha+1)=\text{tg}\,\alpha-\text{ctg}\,\alpha[/tex]
Wymnażamy nawiasy po lewej stronie:
[tex]L = \text{tg}\,\alpha\cdot\text{ctg}\,\alpha + \text{tg}\,\alpha - \text{ctg}\,\alpha - 1[/tex]
Zauważmy, że [tex]\text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1[/tex]. Stąd mamy po lewej stronie
[tex]L=1+\text{tg}\,\alpha-\text{ctg}\,\alpha-1 = \text{tg}\,\alpha-\text{ctg}\,\alpha = P.[/tex]
Lewa strona równa się prawej, co kończy dowód.