Odpowiedź:
1. Tworzymy układ równań:
[tex]\left \{ {{x+y=24} \atop {x^2-y^2=144}} \right.[/tex]
Spójrzmy na drugie równanie. Jest tam wzór skróconego mnożenia typu [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]. Zamieńmy odpowiednio:
[tex](x-y)(x+y)=144[/tex]
Jednocześnie wiemy z pierwszego równania, że [tex]x+y=24[/tex]. Podstawmy:
[tex](x-y)\cdot 24 = 144\quad||:24\\x-y=\frac{144}{24} = 6[/tex]
Zatem mamy układ równań:
[tex]\left \{ {{x+y=24} \atop {x-y=6}} \right.[/tex]
Wyznaczmy x z pierwszego równania: [tex]x+y=24 \Rightarrow x =24-y[/tex]
Podstawmy do drugiego:
[tex](24-y)-y=6 \iff 24-2y=6\iff2y=18\iff y=9[/tex]
Obliczamy x: [tex]x=24-y=24-9=15[/tex]
Zatem szukane liczby to x = 15, y = 9.
2.
[tex]\left \{ {{x-y=-5} \atop {x+y=-7}} \right.[/tex]
Jeżeli mamy rozwiązać graficznie, to przekształćmy równania do postaci równań kierunkowych prostych:
Pierwsze: [tex]x-y=-5 \iff x=-5+y \iff y=x+5[/tex]
Drugie: [tex]x+y=-7 \iff y=-x-7[/tex]
W załączniku umieszczam narysowane wykresy.
Żeby narysować wykres funkcji, potrzebujemy przynajmniej dwóch punktów, które do niego należą. Obliczmy, jakie wartości obie funkcje przyjmują dla x=0 i dla y=0.
1) [tex]y=x+5[/tex]
dla x=0: [tex]y=0+5 = 5 \Rightarrow (0,5)[/tex]
dla y=0: [tex]0=x+5 \iff x=-5 \Rightarrow (-5, 0)[/tex]
2) [tex]y=-x-7[/tex]
dla x=0: [tex]y=-0-7=-7 \Rightarrow (0,-7)[/tex]
dla y=0: [tex]0=-x-7 \iff x=-7 \Rightarrow (-7,0)[/tex]
Zaznaczamy te dwie pary punktów i łączymy je, aby uzyskać dwa wykresy funkcji liniowych. Rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia tych wykresów. W tym przypadku jest to (-6, -1).
3.
[tex]\left \{ {{3x+2y=-9} \atop {4y-x=17}} \right.[/tex]
Postępujemy tak, jak w poprzednim zadaniu. Najpierw doprowadzamy równania do postaci kierunkowych [tex]y=ax+b[/tex]
[tex]3x+2y=-9 \iff 2y = -9 -3x \iff y = -\frac{3}{2}x-\frac{9}{2}[/tex]
[tex]4y-x=17 \iff 4y = 17 + x \iff y = \frac{1}{4}x+\frac{17}{4}[/tex]
Rysunek w układzie współrzędnych w załączeniu.
Aby narysować wykresy, znowu potrzebujemy dwóch punktów, np. dla x=0 i y=0.
1) [tex]y=-\frac{3}{2}x-\frac{9}{2}[/tex]
dla x=0: [tex]y = 0-\frac{9}{2} = -\frac{9}{2} \Rightarrow \left(0,-\frac{9}{2}\right)[/tex]
dla y=0: [tex]0=-\frac{3}{2}x-\frac{9}{2} \iff \frac{3}{2}x=-\frac{9}{2} \iff x = -3 \Rightarrow (-3,0)[/tex]
2) [tex]y=\frac{1}{4}x+\frac{17}{4}[/tex]
dla x=0: [tex]y=0+\frac{17}{4}=\frac{17}{4} \Rightarrow \left(0,\frac{17}{4}\right)[/tex]
dla y=0: [tex]0=\frac{1}{4}x+\frac{17}{4} \iff \frac{1}{4}x=-\frac{17}{4} \iff x=-17[/tex]
Po narysowaniu wykresów, odczytujemy, że punktem ich przecięcia jest (-5, 3).
