Rozwiązanie:
Niech będzie dany wielokąt wypukły o [tex]n[/tex] bokach. Chcemy tworzyć odcinki między dwoma wierzchołkami. Możemy to zrobić na:
[tex]\left(\begin{array}{ccc}n\\2\end{array}\right)=\frac{n!}{2!*(n-2)!}=\frac{(n-2)!(n-1)n}{2(n-2)!} =\frac{n(n-1)}{2}[/tex]
sposobów, gdyż po prostu wybieramy dwa dowolne wierzchołki spośród [tex]n[/tex] wierzchołków. W tym rozumowaniu policzyliśmy jednak odcinki, które nie są przekątnymi - są to boki tego wielokąta. Boków jest [tex]n[/tex], zatem przekątnych jest:
[tex]\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-1)-2n}{2} =\frac{n(n-3)}{2}[/tex]
co kończy dowód.
