Odpowiedź:
[tex]q=\sqrt{2}-1[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z zadania:
[tex]S=\frac{a}{1-q}=2[/tex]
[tex]S_{np}=\frac{a}{1-q^{2}}=\sqrt{2}[/tex]
Z pierwszego równania:
[tex]a=2(1-q)[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{2(1-q)}{1-q^{2}}=\sqrt{2}\\2(1-q)=\sqrt{2}(1-q^{2})\\2-2q=\sqrt{2}-\sqrt{2}q^{2}\\-\sqrt{2}q^{2}+2q-2+\sqrt{2}=0\\\Delta=4-4*(-\sqrt{2})*(-2+\sqrt{2})=4+4\sqrt{2}(\sqrt{2}-2)=4+8-8\sqrt{2}=4(3-2\sqrt{2})\\q_{1}=\frac{-2-2\sqrt{3-2\sqrt{2} } }{-2\sqrt{2} } =\frac{-1-\sqrt{3-2\sqrt{2} } }{-\sqrt{2} }=\frac{-\sqrt{2} -\sqrt{6-4\sqrt{2} } }{-2} =\frac{-\sqrt{2} -\sqrt{(2-\sqrt{2} )^{2}} }{-2}=1\\[/tex]
[tex]q_{2}=\frac{-2+2\sqrt{3-2\sqrt{2} } }{-2\sqrt{2} }=\frac{-1+\sqrt{3-2\sqrt{2} } }{-\sqrt{2} }=\frac{-\sqrt{2} +\sqrt{6-4\sqrt{2} } }{-2} =\frac{-\sqrt{2} -\sqrt{(2+\sqrt{2} )^{2}} }{-2}=\sqrt{2}-1[/tex]
Pierwsze rozwiązanie należy odrzucić, gdyż szereg geometryczny jest zbieżny tylko i tylko wtedy, gdy [tex]|q|<1[/tex].