Odpowiedź:
20. Graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, zatem w podstawie ma kwadrat. Wiemy, że długość jego boku wynosi 4 cm. Mamy też informację, że przekątna graniastosłupa ma długość [tex]8\sqrt2\text{ cm}[/tex]. Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex], gdzie [tex]P_p[/tex] to pole podstawy, a [tex]H[/tex] to wysokość graniastosłupa.
Pole podstawy możemy obliczyć. Wynosi ono
[tex]P_p=(4\text{ cm})^2=16\text{ cm}^2[/tex]
Nie mam możliwości narysowania rysunku pomocniczego, choć przydałby się tutaj. Aby obliczyć wysokość H, wykorzystamy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątnymi są: wysokość graniastosłupa - H oraz przekątna podstawy - d, a przeciwprostokątną jest przekątna graniastosłupa.
Przekątną kwadratu leżącego w podstawie obliczymy, mnożąc długość boku kwadratu przez [tex]\sqrt2[/tex]. Stąd
[tex]d=4\sqrt2\text{ cm}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do opisanego wyżej trójkąta:
[tex](8\sqrt2)^2 = (4\sqrt2)^2+H^2\\H^2 = (8\sqrt2)^2 - (4\sqrt2)^2\\H^2 = 128-32 = 96\\H=4\sqrt6[/tex]
Teraz możemy obliczyć objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H = 16\text{ cm}^2 \cdot 4\sqrt6\text{ cm} = 64\sqrt6\text{ cm}^3[/tex]
21. Podstawa omawianego prostopadłościanu ma wymiary 3 cm × 2 cm. Oznacza to, że zbudowanie jednej warstwy wymaga trzech sześcianów o krawędzi 1 cm wzdłuż i dwóch takich sześcianów wszerz. Łącznie jest to [tex]3\cdot2=6[/tex] sześcianów na warstwę.
Wiemy, że liczba sześcianów użytych do zbudowania jednej warstwy stanowi 20% liczby wszystkich sześcianów potrzebnych do zbudowania omawianego prostopadłościanu. Stąd mamy proporcję
[tex]6 - 20\%\\x - 100\%[/tex]
[tex]x=\frac{6\cdot100\%}{20\%} = 30[/tex]
Zatem wszystkich sześcianów było 30.
Objętość prostopadłościanu stanowi sumę objętości wszystkich budujących go sześcianów. Sześciany te mają krawędź o długości 1 cm, co oznacza, że objętość każdego z nich wynosi [tex](1\text{ cm})^3=1\text{ cm}^3[/tex]
Objętość całkowita wynosi zatem
[tex]V=30\cdot 1\text{ cm}^3=30\text{ cm}^3[/tex]
22. Obliczymy całkowitą masę stopu oraz całkowitą masę srebra, a następnie obliczymy, jaki procent stanowi srebro w tym stopie.
[tex]m_{stopu}=4\text{ g} + 2\text{ g} = 6\text{ g}[/tex]
Masa srebra w pierwszym pierścionku stanowiła 80% całej masy pierścionka:
[tex]m_{s_1} = 4\text{ g} \cdot 80\% = 3,2\text{ g}[/tex]
Masa srebra w drugim pierścionku wynosiła [tex]m_{s_2} = 1\text{ g}[/tex]
Łączna masa srebra wynosiła zatem [tex]m_{srebra} = m_{s_1} + m_{s_2} = 3,2\text{ g} + 1\text{ g} = 4,2\text{ g}[/tex]
Obliczamy, jaki procent masy stopu stanowi masa srebra:
[tex]\frac{m_{srebra}}{m_{stopu}}\cdot 100\% = \frac{4,2\text{ g}}{6\text{ g}}\cdot 100\% = 70\%[/tex]