Odpowiedź:
[tex]x^2-4x+1-3m=0[/tex]
Aby powyższe równanie posiadało dwa pierwiastki rzeczywiste dodatnie muszą zachodzić następujące warunki:
[tex]\left\{ \begin{array}{ll}\triangle\ge0\\x_{1}*x_{2}>0 \\x_{1}+x_{2}>0\end{array} \right.[/tex]
1.
[tex]\triangle\ge0\\\triangle=16-4(1-3m)=12+12m\ge0\\[/tex]
[tex]12+12m\ge0\\12m\ge-12\\m\ge-1\\m\in\langle-1;\infty)[/tex]
2.
[tex]x_{1} *x_{2} >0\\\frac{c}{a}>0\\\\\frac{1-3m}{1}>0\\\\-3m>-1\\m<\frac13\\m\in(-\infty;\frac13)[/tex]
3.
[tex]x_{1}+x_{2}>0\\\frac{-b}{a}>0\\4>0\\m\in\mathbb{R}[/tex]
Zatem:
[tex]\left\{ \begin{array}{ll}m\in\langle-1;\infty)\\m\in(-\infty;\frac13)\end{array} \right.[/tex]
Z czego wynika, że:
[tex]m\in\langle-1;\frac13)[/tex]