Odpowiedź:
Będzie nam potrzebny wzór na objętość ostrosłupa:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H[/tex], gdzie [tex]P_p[/tex] to pole podstawy, a H to wysokość.
1. Mamy do czynienia z ostrosłupami prawidłowymi, co oznacza, że w postawie każdego z nich znajduje się figura foremna - taka, która ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary.
A. Odczytujemy z rysunku, że krawędź podstawy ma długość 2 oraz wysokość ostrosłupa ma długość 2.
Obliczmy pole podstawy, a następnie objętość.
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku równym 2. Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt3[/tex]
Obliczamy objętość:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\sqrt3\cdot 2=\frac{2\sqrt3}{3}[/tex]
B. Tym razem w podstawie mamy kwadrat o boku 1, a wysokość wynosi 3. Obliczamy:
[tex]P_p=1^2=1\\V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot1\cdot3=1[/tex]
C. Podobnie jak wyżej, tutaj również mamy do czynienia z kwadratem - tym razem o boku 2. Wysokość wynosi 1. Obliczamy:
[tex]P_p=2^2=4\\V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot4\cdot1=\frac{4}{3}[/tex]
D. Tutaj w podstawie znajduje się sześciokąt foremny o boku [tex]0,5=\frac{1}{2}[/tex], Wysokość ostrosłupa wynosi [tex]\sqrt3[/tex].
Pole podstawy obliczamy ze wzoru na pole sześciokąta foremnego:
[tex]P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{1}{4}\cdot\sqrt3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}[/tex]
Obliczamy objętość:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot \sqrt3 = \frac{\sqrt3\cdot\sqrt{3}}{8}=\frac{3}{8}[/tex]
Mamy ustalić, który z ostrosłupów ma największą objętość. Mamy:
[tex]V_A=\frac{2\sqrt3}{3}\\V_B=1\\V_C=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\approx1,33\\V_D=\frac{3}{8}[/tex]
Do dokonania porównania będziemy musieli uzyskać przybliżoną wartość [tex]V_A[/tex].
[tex]\sqrt3\approx1,73\\\Rightarrow V_A=\frac{2\sqrt3}{3}\approx \frac{2\cdot1,73}{3}=\frac{3,46}{3}\approx1,15[/tex]
Widzimy, że
[tex]\frac{3}{8}<1<1,15<1,33\\V_D<V_B<V_A<V_C[/tex]
Zatem największą objętość ma ostrosłup C.
2. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 6 cm i 10 cm. Znamy objętość ostrosłupa [tex]V=200\text{ cm}^3[/tex], a szukamy wysokości H=?
Wzór na pole rombu:
[tex]P=\frac{e\cdot f}{2}[/tex], gdzie e,f - przekątne rombu
Stąd
[tex]P_p=\frac{6\cdot10}{2}=30\text{ cm}^2[/tex]
Mamy wzór na objętość ostrosłupa:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p\cdot H[/tex]
Podstawmy znane nam wartości [tex]V[/tex] i [tex]P_p[/tex], aby wyliczyć [tex]H[/tex]
[tex]200=\frac{1}{3}\cdot30\cdot H\\200=10\cdot H\\H=\frac{200}{10}=20\text{ cm}[/tex]
Zatem poprawna jest odpowiedź B. 20 cm
