Odpowiedź:
[tex]m=-\frac{7}{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^{2}+mx+\frac{12}{25} =0[/tex]
[tex]\Delta>0[/tex] :
[tex]\Delta=m^{2}-4*1*\frac{12}{25} =m^{2}-\frac{48}{25} \\m^{2}-\frac{48}{25} >0\\(m-\frac{4\sqrt{3} }{5})(m+\frac{4\sqrt{3} }{5} )>0\\m \in (-\infty,-\frac{4\sqrt{3} }{5} ) \cup (\frac{4\sqrt{3} }{5},\infty)[/tex]
Ponadto musi być spełniony warunek:
[tex]x_{1}<1\\x_{2}<1[/tex]
ale i [tex]x_{1},x_{2}>0[/tex], gdyż nie zbudujemy trójkąta o ujemnych bokach. Zatem:
[tex]0<x_{1}+x_{2}<2 \wedge (x_{1}-1)(x_{2}-1)>0\\x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1>0[/tex]
Stąd:
[tex]0<-m<2 \wedge \frac{12}{25}+m+1 >0[/tex]
[tex]-2<m<0 \wedge m>-\frac{37}{25}[/tex]
[tex]-\frac{37}{25}<m<0[/tex]
Pozostaje ostatni warunek, jaki musi być spełniony, wynika on z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1^{2}\\(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=1\\m^{2}-2*\frac{12}{25} =1\\m^{2}-\frac{49}{25}=0\\(m-\frac{7}{5})(m+\frac{7}{5})=0\\m=-\frac{7}{5} \vee m=\frac{7}{5}[/tex]
Bierzemy ostatecznie część wspólną (iloczyn) wszystkich warunków z zadania i otrzymujemy odpowiedź:
[tex]m=-\frac{7}{5}[/tex]