Odpowiedź:
1. Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka. Oznaczmy S - środek odcinka AB. Wówczas mamy
[tex]S = \left( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} \right)[/tex], gdzie [tex]A=(x_A, y_A)[/tex], [tex]B=(x_B, y_B)[/tex]
Środek odcinka AB o końcach w punktach A = (-2, 3), B = (1, -1) ma zatem współrzędne
[tex]S = \left( \frac{-2+1}{2}, \frac{3+(-1)}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{2}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1 \right)[/tex]
2. Mamy równanie kierunkowe prostej [tex]y=ax+b[/tex]. Wiemy, że przechodzi ona przez punkty A = (2, 4) i B = (1, 6). Tworzymy układ dwóch równań kierunkowych, gdzie do pierwszego za x i y wstawimy współrzędne punktu A, a do drugiego - współrzędne punktu B. Mamy
[tex]\left \{ {{4=a\cdot2+b} \atop {6=a\cdot1+b}} \right.[/tex]
Spójrzmy na drugie równanie. Wyznaczymy z niego b:
[tex]6=1a+b \iff 6=a+b \iff b=6-a[/tex]
Wstawiamy obliczoną wartość b do pierwszego równania:
[tex]4=2a+b\\4=2a+(6-a)\\4=2a+6-a\\4=a+6\qquad ||-6\\-2=a\\a=-2[/tex]
Obliczyliśmy a. Teraz wstawiamy a = -2 do równania na b:
[tex]b=6-a=6-(-2)=6+2=8[/tex]
Zatem mamy prostą
[tex]y=-2x+8[/tex]
3. Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich argumentów, funkcji, czyli takich x, dla których istnieje wykres tej funkcji.
a) [tex]f(x) = \frac{x^2+3}{x^2-4}[/tex]
Funkcja tego rodzaju "psuje się" wtedy, gdy w mianowniku wychodzi 0, bo mielibyśmy dzielenie przez 0. Dlatego z dziedziny musimy wykluczyć wszystkie x, dla których mianownik się zeruje. Przeanalizujmy, kiedy to się dzieje.
[tex]x^2-4=0[/tex]
Zauważmy, że mamy wzór skróconego mnożenia
[tex]x^2-2^2=0\\(x-2)(x+2)=0[/tex]
Widzimy zatem, że równanie spełni się dla [tex]x=2,\,\, x=-2[/tex]. Te x wykluczamy z dziedziny i mamy
[tex]D=\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}[/tex]
b) [tex]f(x) = \frac{2x-3}{(x+1)(2x-3)}[/tex]
Znowu zwracamy uwagę na mianownik.
[tex](x+1)(2x-3)=0[/tex]
To równanie zostanie spełnione wówczas, gdy jeden z nawiasów się wyzeruje, tj. [tex]x+1=0 \lor 2x-3=0[/tex]
Pierwsze równanie rozwiązujemy prosto: [tex]x+1=0 \iff x=-1[/tex]
Rozwiązujemy drugie równanie:
[tex]2x-3=0\\2x=3\\x=\frac{3}{2}[/tex]
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć [tex]x=-1[/tex] oraz [tex]x=\frac{3}{2}[/tex]
Dziedzina ma postać
[tex]D=\mathbb{R}\setminus \left\{ -1, \frac{3}{2}\right\}[/tex]
c) [tex]f(x)=\sqrt{2x+4}[/tex]
Funkcja w postaci pierwiastka może się "zepsuć", gdyby liczba pod pierwiastkiem okazała się ujemna. Tym razem nie będziemy patrzyli, jakie x wykluczyć, ale jakie x są dopuszczalne. Dlatego rozwiązujemy nierówność
[tex]2x+4\geq0\\2x\geq-4\\x\geq\frac{-4}{2}\\x\geq-2[/tex]
Widzimy, że funkcja będzie "działała" dla [tex]x\geq-2[/tex]. Inaczej możemy to zapisać, że [tex]x\in \langle-2,\infty)[/tex]
Zatem
[tex]D=\langle -2,\infty)[/tex]
4.
a) Zajmijmy się na początek kątem, którego miara jest nieoznaczona. Obliczmy ją. Wiemy, że w trójkącie suma miar kątów wynosi 180 stopni, stąd
[tex]180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}[/tex]
Widzimy zatem, że jest to trójkąt charakterystyczny 30°, 60°, 90°, czyli połowa trójkąta równobocznego. Oznaczmy, że bok o długości 8 to h. Zachodzą zatem zależności:
[tex]h=\frac{y\sqrt3}{2}\\x=\frac{1}{2}y[/tex]
Z pierwszego równania, pamiętając, że h=8, mamy
[tex]8=\frac{y\sqrt3}{2}\\16=y\sqrt3\\y=\frac{16}{\sqrt3}=\frac{16\sqrt3}{3}[/tex]
Stąd
[tex]x=\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\cdot\frac{16\sqrt3}{3}=\frac{16\sqrt3}{6}[/tex]
b) Wiemy, że [tex]\sin\alpha = \frac{3}{4}[/tex]. Korzystając z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym, wiemy, że
[tex]\sin\alpha=\frac{6}{y}[/tex]
Stąd
[tex]\frac{3}{4}=\frac{6}{y}[/tex]
Mnożymy na krzyż, uzyskując
[tex]3y=6\cdot4\\y=\frac{6\cdot4}{3}\\y=8[/tex]
Długość boku x najszybciej obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]8^2=6^2+x^2\\x^2=8^2-6^2\\x^2=64-36\\x^2=28\\x=\sqrt{28}=2\sqrt7[/tex]
5. [tex]\text{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
Znamy wartość cosinusa: [tex]\cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex]
Wartość [tex]\sin\alpha[/tex] obliczymy z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2+\cos^2\alpha=1\\\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\\\sin^2\alpha=1-\left(\frac{4}{5}\right)^2\\\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}\\\sin^2\alpha=\frac{9}{25}\\\sin\alpha=\frac{3}{5}\lor\sin\alpha=-\frac{3}{5}[/tex]
Mamy dwie wartości [tex]\sin\alpha[/tex]. Nie mamy informacji, do której ćwiartki układu współrzędnych należy kąt alfa, zatem nie możemy wykluczyć żadnego z tych dwóch wyników.
[Gdyby była informacja, że α jest kątem ostrym, to wtedy bierzemy dodatniego sinusa i odrzucamy wynik ujemny.]
Mamy zatem dwa rozwiązania:
(1) [tex]\text{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}=\frac{3}{4}[/tex]
(2) [tex]\text{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}[/tex]
