Odpowiedź:
[tex]|AC|=\frac{2\sqrt{4a^2+b^2} }{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ustalmy środki boków [tex]BC[/tex] oraz [tex]AC[/tex] jako [tex]D[/tex] i [tex]E[/tex] odpowiednio. Punkt przecięcia środkowych oznaczmy jako [tex]S[/tex]. Ponadto niech [tex]|AE|=|EC|=x[/tex]. Punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku [tex]2:1[/tex], licząc od wierzchołka. Zatem:
[tex]|SE|=\frac{1}{3} b\\|AS|=\frac{2}{3}a\\[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]AES[/tex]:
[tex](\frac{1}{3}b )^2+(\frac{2}{3}a )^2=x^2\\\frac{4a^2+b^2}{9}=x^2\\x=\frac{\sqrt{4a^2+b^2} }{3}[/tex]
Zatem:
[tex]|AC|=2x=\frac{2\sqrt{4a^2+b^2} }{3}[/tex]
