Odpowiedź:
7.
Kąt zaznaczony na zielono ma miarę 30° (katy wierzchołkowe).
W różowym trójkącie mamy kąty: 30° (zielony), 35° (podpisany) i kąt czerwony. Miara czerwonego kąta wynosi:
[tex]180^{\circ}-30^{\circ}-35^{\circ}=115^{\circ}[/tex]
Stąd miara kąta β wynosi [tex]180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}[/tex] (kąty przyległe - czerwony i β).
Cały kąt zaznaczony na niebiesko ma miarę równą β (kąty naprzemianległe z kątem zaznaczonym oryginalnie jako β).
Kąt pomarańczowy (część niebieskiego) ma miarę 35° (kąty wierzchołkowe). Kąt ten jest też częścią kąta α.
Pozostała część kąta α (zaznaczona na brązowo) ma miarę
[tex]180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}[/tex]
(kąty przyległe - niebieski i brązowy; miarę brązowego kąta można też było ustalić, zauważając, że jest to kąty brązowy i czerwony to kąty odpowiadające i mają taką samą miarę)
Miara kąta α to suma miar kątów brązowego i pomarańczowego. Stąd
[tex]\alpha = 115^{\circ} + 35^{\circ}=150^{\circ}[/tex]
Przypomnijmy, że [tex]\beta = 65^{\circ}[/tex].
Sprawdzamy teraz odpowiedzi - mamy znaleźć zależność, która nie zachodzi.
A. [tex]\alpha + 30^{\circ} = 150^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ}[/tex] Zależność zachodzi.
B. [tex]\beta - 35^{\circ} = 65^{\circ} - 35^{\circ} = 30^{\circ}[/tex] Zależność zachodzi.
C. [tex]\alpha + \beta = 150^{\circ} + 65^{\circ} = 215^{\circ} \neq 180^{\circ}[/tex] Zależność nie zachodzi.
D. [tex]\alpha - \beta = 150^{\circ} - 65^{\circ} = 85^{\circ}[/tex] Zależność zachodzi.
Nie zachodzi równość z opcji C, zatem zaznaczamy odpowiedź C.
8. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P_{\triangle} = \frac{1}{2}ah[/tex], gdzie h - wysokość trójkąta, a - długość boku, na który opuszczona jest wysokość
Wiemy, że we wszystkich czterech trójkątach wysokość opuszczono na bok, który jest jednocześnie bokiem kwadratu i wiemy, że kwadrat ma bok długości 12 cm. Zatem a = 12 cm. Obliczymy teraz wysokości wszystkich czterech trójkątów (zamiast ABP, BCP, CDP, DAP będę je numerował 1, 2, 3, 4).
[tex]P_1 = \frac{1}{2}\cdot 12 \text{ cm} \cdot h_1\\P_1 = 12\text{ cm}^2\\\\6\text{ cm}\cdot h_1 = 12\text{ cm}^2\\h_1 = \frac{12}{6} = 2\text{ cm}[/tex]
[tex]P_2 = \frac{1}{2}\cdot12\text{ cm} \cdot h_2\\P_2 = 24\text{ cm}^2\\\\6\text{ cm}\cdot h_2 = 24\text{ cm}^2\\h_2=\frac{24}{6}=4\text{ cm}[/tex]
[tex]P_3 = \frac{1}{2}\cdot12\text{ cm} \cdot h_3\\P_3 = 60\text{ cm}^2\\\\6\text{ cm}\cdot h_3 = 60\text{ cm}^2\\h_3=\frac{60}{6}=10\text{ cm}[/tex]
[tex]P_4 = \frac{1}{2}\cdot12\text{ cm} \cdot h_4\\P_4 = 48\text{ cm}^2\\\\6\text{ cm}\cdot h_4 = 48\text{ cm}^2\\h_4=\frac{48}{6}=8\text{ cm}[/tex]
Uzyskaliśmy następujące wysokości:
[tex]h_1 = 2\text{ cm}\\h_2 = 4\text{ cm}\\h_3 = 10\text{ cm}\\h_4 = 8\text{ cm}[/tex]
Żadna z tych wysokości nie jest równa 6 cm, zaznaczamy odpowiedź C.
