Odpowiedź :
Odpowiedź
a)
[tex]\displaystyle{ x \in (-11, -2) \cup (0, 1) \cup (2, +\infty) }[/tex]
b)
[tex]\displaystyle{ x \in \left( \, -\infty \, ; \:\: \frac { \:\: -(\sqrt{5} + 1) \:\: } {2} \right) \:\: \cup \:\: \left( \: \frac { \:\: \sqrt{5} - 1 \:\: } {2} \, ; \:\: +\infty \: \right) }[/tex]
ale być może
[tex]\boxed{ \:\:\: x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (1, +\infty) \:\:\: }[/tex]
Musisz dokładnie popatrzeć jak wygląda oryginalny tekst Twojego zadania!
Szczegółowe wyjaśnienie
a)
[tex]\displaystyle{ f(x) = \, x \cdot (x^2 - 4) \cdot (x^2 + 10x - 11) } > 0 }\\\\\displaystyle{ f(x) = \, x \cdot (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 11) } > 0 }\\\\\text{miejsca zerowe funkcji } f(x) \text{ to } -\!\!11, -\!2, 0, 1, 2\\\\\\\\\boxed{ \:\:\: x \in (-11, -2) \cup (0, 1) \cup (2, +\infty) \:\:\: }[/tex]
b) Mam nadzieję, że poniżej jest tak jak w zadaniu. Jeśli nie..., to nawet nie czytaj dalej, tylko idź od razu na sam dół!
[tex]\displaystyle{f(x) \: = \: x^2 \cdot (1 - x^2 \cdot (2 + x^2 \cdot (x^2 + 2x))) < 0}[/tex]
Sprawdźmy wartość [tex]f(x)[/tex] dla [tex]x = 0[/tex], [tex]f(0) = 0[/tex]. Nierówność nie jest spełniona.
Czyli na pewno szukamy rozwiązania poza [tex]x = 0[/tex] i zawsze jest [tex]x^2 > 0[/tex], a więc możemy powyższą nierówność uprościć do
[tex]\displaystyle{ 1 - x^2 \cdot (2 + x^2 \cdot (x^2 + 2x)) < 0 }\\\\\displaystyle{ 1 - 2 x^2 - x^4 \cdot (x^2 + 2x)) < 0 }\\\\\displaystyle{ 1 - 2 x^2 - x^6 - 2x^5 < 0 }\\\\- x^6 - 2x^5 - 2 x^2 +1 < 0\\\\x^6 + 2x^5 + 2 x^2 - 1 > 0[/tex]
Widać, że wyrażenie po lewej stronie ma wartość zero dla [tex]x = -1[/tex]. Zatem można je rozłożyć na czynniki dzieląc przez [tex]( x + 1 )[/tex].
Wynikowy wielomian znowu ma wartość zero dla [tex]x = -1[/tex]. Zatem można go rozłożyć na czynniki dzieląc przez [tex]( x + 1 )[/tex]. Otrzymujemy
[tex]\displaystyle{ (x + 1)^2 \cdot (x^4 -x^2 +2x -1) > 0 }[/tex]
Ponieważ na pewno jest zawsze [tex](x + 1)^2 > 0[/tex] , więc możemy powyższą nierówność uprościć do
[tex]\displaystyle{ x^4 - x^2 + 2x - 1 > 0 }\\\\\displaystyle{ (x^2 - x + 1) \cdot (x^2 + x - 1) > 0 }[/tex]
Przy czym zawsze [tex]\displaystyle{ (x^2 - x + 1) > 0 }[/tex]. Wystarczy sprawdzić, że wyznacznik równania kwadratowego [tex]\displaystyle{ (x^2 - x + 1) = 0 }[/tex] jest ujemny, a więc takie równanie nie ma pierwiastków. Możliwe jest kolejne uproszczenie
[tex]\displaystyle{ x^2 + x - 1 > 0 }\\\\\displaystyle{ \left( x + \frac { \:\: \sqrt{5} + 1 \:\: } {2} \right) \cdot \left( x - \frac { \:\: \sqrt{5} - 1 \:\: } {2} \right) > 0 }\\\\\\\displaystyle{ x < \frac { \:\: -(\sqrt{5} + 1) \:\: } {2} \:\:\:\: \vee \:\:\:\: \frac { \:\: \sqrt{5} - 1 \:\: } {2} < x }[/tex]
Alternatywny odczyt równania...
[tex]\displaystyle{f(x) \: = \: x^2 \cdot (1 - x^2) \cdot (2 + x^2) \cdot (x^2 + 2x) < 0}[/tex]
Zauważamy, że z wyjątkiem [tex]x = 0[/tex] mamy zawsze
[tex]\displaystyle{ x^2 \cdot (2 + x^2) > 0 }[/tex]
Oznacza to, że wystarczy rozpatrzyć nierówność
[tex]\displaystyle{ (1 - x^2) \cdot (x^2 + 2x) < 0 }\\\\\displaystyle{ (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 2x) > 0 }\\\\\displaystyle{ (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot x > 0 }\\\\\displaystyle{ (x - 1) \cdot x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) > 0 }[/tex]
Miejsca zerowe wyrażenia po lewej stronie to [tex]-\!2, -\!1, 0, 1[/tex]. Co daje rozwiązanie jako
[tex]\boxed{ \:\:\: x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 0) \cup (1, +\infty) \:\:\: }[/tex]
