Witaj :)
[tex]-3(x+2)^2-5[/tex] ... postać kanoniczna
Z powyższej funkcji możemy odczytać, że:
[tex]a = -3, p = -2, q = -5[/tex]
ponieważ wzór funkcji kanonicznej wygląda następująco:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
Aby przekształcić ją do postaci ogólnej musimy podnieść nawias do kwadratu, a następnie uprościć wyrażenie.
[tex]f(x)=-3(x^2+4x+4)-5\\f(x)=-3x^2-12x-12-5[/tex]
Zatem po zsumowaniu wszystkich czynników otrzymujemy:
[tex]f(x)=-3x^2-12x-17[/tex] ... postać ogólna
[tex]f(x)=2x^2+7x+3[/tex] ... postać ogólna
Z powyższej funkcji możemy odczytać, że:
[tex]a=2,b=7,c=3[/tex]
Najpierw obliczmy deltę:
Δ [tex]=b^2-4ac[/tex]
Δ [tex]= 7^2-4*2*3 = 49-24 =25[/tex]
Delta jest większa od zera, co oznacza, że funkcja ma dwa miejsca zerowe, zatem pierwiastek z delty będzie równy 5.
Możemy teraz obliczyć miejsca zerowe funkcji ze wzorów:
[tex]x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Obliczamy:
[tex]x_1 = \frac{-7-5}{4} = \frac{-12}{4} = -3[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-7+5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}[/tex]
Zatem wiemy, że miejsca zerowe tej funkcji to [tex]-3[/tex] oraz [tex]-\frac{1}{2}[/tex]
Możemy teraz podstawić do wzoru:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]f(x)=2(x+3)(x+\frac{1}{2})[/tex]
Włączmy dwójkę do nawiasu (dzięki czemu pozbędziemy się ułamka):
[tex]f(x)=(x+3)(2x+1)[/tex] ... postać iloczynowa
[tex]f(x)=-2(x-1)(x-5)[/tex] ... postać iloczynowa
Z powyższej funkcji możemy odczytać, że:
[tex]a=-2,x_1=1,x_2=5[/tex]
Aby przekształcić funkcję z iloczynowej na kanoniczną potrzebujemy dwóch wzorów - na p oraz q, oto one:
[tex]p=\frac{x_1+x_2}{2}[/tex]
[tex]q=f(p)=a(p-x_1)(p-x_2)[/tex]
Obliczamy:
[tex]p=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2} = 3[/tex]
[tex]q=f(p)=-2(3-1)(3-5) = 8[/tex]
Wzór postaci kanonicznej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
Zatem podstawiamy:
[tex]f(x)=-2(x-3)^2+8[/tex] ... postać kanoniczna
