Odpowiedź:
a=9, b=6, c=4
Szczegółowe wyjaśnienie:
W zadaniu mamy połączenie trzech warunków:
1) a,b,c tworzą ciąg geometryczny, zatem [tex]b^{2}=ac(*)[/tex]
2) Suma tych liczb wynosi 19, zatem [tex]a+b+c=19(**)[/tex]
3) Ciąg a+3, b+2, c jest arytmetyczny, zatem:
[tex]2(b+2)=a+3+c\\\\2b+4=a+3+c\\\\a-2b+c=1(***)[/tex]
Łącząc warunki (**) i (***) otrzymujemy układ równań:
[tex]\left \{ {{a+b+c=19} \atop {a-2b+c=1} \right.[/tex]
Odejmujemy układ stronami otrzymując
[tex]3b=18\\\\b=6[/tex]
Wiedząc że b=6 łączymy warunki (*) i (**) otrzymując układ:
[tex]\left \{ {{ac=36} \atop {a+c=13}} \right.[/tex]
Wyznaczam [tex]c=13-a[/tex] i wstawiam do zależności [tex]ac=36[/tex] otrzymując równanie
[tex]a(13-a)=36\\13a-a^{2}=36\\a^{2}-13a+36=0\\\\[/tex]
Δ=[tex](-13)^2-4*1*36=25[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{13-5}{2}=4\\a_{2}=\frac{13+5}{2}=9[/tex]
Dla [tex]a_{1}=4[/tex] otrzymujemy [tex]c_{1}=9[/tex]
Dla [tex]a_{2}=9[/tex] otrzymujemy [tex]c_{1}=4[/tex]
Powyższy układ trzech równań spełniają zatem trójki liczb
(4,6,9)
(9,6,4)
Warunek że ciąg jest malejący spełnia trójka liczb (9,6,4)
