Odpowiedź:
Z nierówności Jensena wiemy, że dla dowolnych [tex]\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_n\in[0,1][/tex] gdzie [tex]\alpha_1+ \alpha_2+\alpha_3+\ldots+\alpha_n=1$, $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\in\mathbb{R}[/tex] oraz funkcji wklęsłej:
[tex]f\left(\sum\limits_{i=1}^n(\alpha_ix_i)\right)\geq\sum\limits_{i=1}^n(a_if(x_i)).[/tex]
Niech [tex]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\ldots=\alpha_n=\frac{1}{n}.\\[/tex] Naszą funkcją [tex]f\\[/tex] niech będzie funkcja [tex]f(x)=\log(x),[/tex] wtedy:
[tex]\log\left(\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\right)\geq\frac{1}{n}\log(x_1x_2x_3\ldots x_n)[/tex][tex]\log\left(\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\right)\geq\log\left(\sqrt[n]{x_1x_2x_3\ldots x_n}\right).[/tex]
Ponieważ funkcja [tex]\log(x)[/tex] jest rosnąca, to:
[tex]\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2x_3\ldots x_n}[/tex], co należało wykazać.