Odpowiedź:
Z twierdzenia Nivena wiemy, że gdy [tex]\theta \in \mathbb{Q}[/tex] oraz [tex]0^o\leq\theta\leq90^o[/tex] to jedynymi wartościami [tex]\sin\theta[/tex] które także są wymierne są:
[tex]\sin0^o=0\\\sin30^o=\frac{1}{2}\\\sin90^o=1[/tex]
Ponieważ wierzchołki mają mieć współrzędne wymierne, możemy przyjąć, że bok figury ma długość 1. Wpisujemy okrąg jednostkowy w środek układu współrzędnych. Z własności okręgu jednostkowego wiemy, że punkt leżący na przecięciu okręgu i prostej idącej pod kątem φ do osi układu ma współrzędne [tex](\cos\varphi, \sin\varphi)[/tex].
Po prostym rozumowaniu otrzymujemy, że kąt zewnętrzny w wielokątach foremnych ma wartość [tex]\frac{2\pi}{n}[/tex],gdzie n jest ilością boków. Łącząc informacje z tw. Nivena oraz o okręgu jednostkowym, kończymy dowód.