Odpowiedź:
Załóżmy, że mamy pełną listę liczb pierwszych - [tex]\left\{ p_1,p_2, p_3, p_4, \ldots p_n \right\}[/tex]
Zauważmy, że liczba [tex]a=p_1\cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_n[/tex] jest podzielna przez każdą liczbę pierwszą z listy.
Z podstawowego twierdzenia arytmetyki wiemy, że każdą liczbę naturalną da się rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
Dodajmy do liczby a 1.
[tex]a+1\nmid p_1[/tex]
[tex]a+1\nmid p_2[/tex]
[tex]\vdots[/tex]
[tex]a+1\nmid p_n[/tex]
Nasza liczba a+1 zatem nie dzieli się przez żadną z liczb pierwszych.
Zatem lista liczb pierwszych jest niekompletna, co przeczy założeniom. Liczb pierwszych musi być zatem nieskończenie wiele.