Odpowiedź:
Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P_{\Delta}=\frac{abc}{4R}[/tex] ; gdzie :
[tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]R[/tex] - promień okręgu opisanego na tym trójkącie
Zauważmy, że w przypadku naszego zadania długości dwóch boków są równe, ponieważ trójkąt jest równoramienny. Przyjmijmy, że [tex]b=c[/tex]. Układamy równanie i rozwiązujemy:
[tex]\frac{16bc}{4*8}=48\\\frac{16b^2}{32}=48\\\frac{b^2}{2}=48\\b^2=96\\b=\sqrt{96}=4\sqrt{6}=c[/tex]
Do obliczenia długości promienia okręgu wpisanego wykorzystamy wzór:
[tex]P_{\Delta}=\frac{1}{2}Obw_{\Delta}*r[/tex] ; gdzie:
[tex]\frac{1}{2}Obw_{\Delta}[/tex] - połowa obwodu trójkąta
[tex]r[/tex] - promień okręgu wpisanego w trójkąt
Liczymy obwód trójkąta:
[tex]Obw_{\Delta}=16+2*4\sqrt{6}=(16+8\sqrt{6})[/tex] [tex]cm[/tex]
Stąd, ponownie układamy równanie i rozwiązujemy:
[tex]\frac{1}{2}r(8\sqrt{6}+16)=48\\r( 8\sqrt{6}+16)=96\\r=\frac{96}{8\sqrt{6}+16}*\frac{8\sqrt{6}-16}{8\sqrt{6}-16}=\frac{768\sqrt{6}-1536}{(8\sqrt{6})^2-16^2 }=\frac{768\sqrt{6}-1536}{384-256}=\frac{768\sqrt{6}-1536}{128}=\\=\frac{128(6\sqrt{6}-12) }{128}= 6\sqrt{6}-12=6(\sqrt{6}-2)[/tex]
Odp. Ramiona tego trójkąta mają długość [tex]4\sqrt{6}[/tex] [tex]cm[/tex]. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość [tex]6(\sqrt{6}-2)[/tex] [tex]cm[/tex].
