Dane są funkcje:
[tex]g(x) = \frac{\sqrt{6+x}}{x^{2}+1} \ \ i \ \ f(x) = -\frac{1}{2}x^{2}+bx+6[/tex]
Funkcje g i f mają wspólne miejsce zerowe. Wyznaczamy więc miejsce zerowe funkcji g, które będzie również miejscem zerowym funkcji f.
[tex]g(x) =\frac{\sqrt{6+x}}{x^{2}+1}\\\\\\\sqrt{6+x} \geq 0\\\\6+x\geq 0\\\\x \geq -6\\\\D: \ x \in <-6;+\infty)\\\\\\g(x) = 0\\\\\sqrt{6+x} = 0\\\\6+x = 0\\\\x_1 = -6[/tex]
Znając miejsce zerowe funkcji f wyznaczamy jej współczynnik b
[tex]f(-6) = -\frac{1}{2}\cdot6^{2}-6b+6 = -18-6b+6 = -6b-12\\\\f(-6) = 0\\\\-6b-12= 0\\\\-6b = 12 \ \ /:(-6)\\\\b = -2[/tex]
Wyznaczamy wzór oraz miejsca zerowe funkcji f(x)
[tex]f(x) = -\frac{1}{2}x^{2}-6x+6\\\\\Delta = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4\cdot(-\frac{1}{2})\cdot6 = 4 = 12 = 16\\\\\sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4\\\\x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2+4}{-\frac{1}{2}\cdot2}=-6, \ \ \ \ x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2-4}{-1} = 2[/tex]
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
[tex]f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\\\f(x) = -\frac{1}{2}(x+6)(x-2) \ - \ wzor \ funkcji \ f \ w \ postaci \ iloczynowej[/tex]
