Odpowiedź:
[tex]x^2+(m+5)x+2m+7=0[/tex]
(1) Równanie ma dwa pierwiastki (rozwiązania), gdy: [tex]\Delta>0[/tex].
[tex]\Delta=(m+5)^2-4(2m+7)=m^2+10m+25-8m-28=m^2+2m-3[/tex]
[tex]\Delta >0[/tex] ⇔ [tex]m^2+2m-3>0[/tex]
[tex]\Delta_m=2^2-4*(-3)=4+12=16[/tex]
[tex]m_1=\frac{-2-\sqrt{16} }{2}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3[/tex]
[tex]m_2=\frac{-2+\sqrt{16} }{2}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1[/tex]
Zatem: [tex]m[/tex] ∈ (-∞ , -3) ∪ (1 , +∞)
(2) Pierwiastki są różnych znaków, gdy: [tex]x_1x_2<0[/tex].
[tex]x_1x_2<0[/tex] ⇔ [tex]\frac{2m+7}{1}<0[/tex]
[tex]\frac{2m+7}{1}<0[/tex]
[tex]2m+7<0[/tex]
[tex]2m<-7[/tex]
[tex]m<-3,5[/tex]
Zatem: [tex]m[/tex] ∈ (-∞ ; -3,5)
Częścią wspólną obu przedziałów jest więc: [tex]m[/tex] ∈ (-∞ ; -3,5)
Odp. [tex]m[/tex] ∈ (-∞ ; -3,5)
