Dabe55
Rozwiązane

Wiedząc, że 2^11 = 2048, uzasadnij bez obliczania potęgi, że 5^11 ma mniej niż 9 cyfr.
Poproszę o wytłumaczenie ​



Odpowiedź :

Hanka

[tex]2^{11}=2048\\\\2^{11}>10^3[/tex]

[tex]\frac{1}{2^{11}}<\frac{1}{10^3} \ \ \ |\cdot10^{11}\\\\5^{11}<10^8[/tex]

5^11 jest mniejsza od liczby 9-cio cyfrowej więc musi mieć mniej niż 9 cyfr.

Sebix1357

założenie :    2¹¹ = 2048

teza : 5¹¹ < 100 000 000  

dowód :

5¹¹ = 5¹²⁻¹ = 5¹² : 5 =    5¹²  ·   [tex]\frac{1}{5}[/tex]  =

5³ = 125                 2⁷ = 127

125     <    127

  5³    <     2⁷

5¹¹ = 5¹²  ·   [tex]\frac{1}{5}[/tex]  =  [tex](5^{3})^{4}[/tex] ·  [tex]\frac{1}{5}[/tex]         <   [tex](2^{7})^{4}[/tex] · [tex]\frac{1}{5}[/tex] =   [tex]2^{28}[/tex] · [tex]\frac{1}{5}[/tex]

[tex]2^{28}[/tex] = [tex]2^{2*14}[/tex] = [tex](2^{14})^{2}[/tex] =  [tex](2^{11}*2^{3} )^{2}[/tex] = [tex](2^{11}*8 )^{2}[/tex] = [tex](2048*8 )^{2}[/tex] = 16384²

5¹¹ < [tex]2^{28}[/tex] · [tex]\frac{1}{5}[/tex] = 16384² · [tex]\frac{1}{5}[/tex] = 53 687 091,2             < 100 000 000  

                                                          zatem teza jest prawdziwa

c.n.d       co kończy dowód

Inne Pytanie