Odpowiedź :
Odpowiedź
Aby rozwiązać nierówność
[tex]x^3 + 3x^2 - 1 > x^2 + 5x + 5[/tex]
przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą (tzn. odejmujemy to samo od obu stron) i otrzymujemy
[tex]x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6 > 0[/tex]
Sprawdzamy pierwiastki i po znalezieniu pierwiastków zapisujemy jako
[tex]( x + 3 ) \cdot ( x + 1 ) \cdot ( x -2 ) > 0[/tex]
ponieważ pierwiastki to -3, -1 i 2
Rozwiązaniem nierówności jest suma dwóch przedziałów
[tex]x \in ( \, -3 , \: -1 \, ) \cup ( \, 2 , \: +\infty \, )[/tex]
W pozostałych dwóch przedziałach wielomian
[tex]( x + 3 ) \cdot ( x + 1 ) \cdot ( x -2 )[/tex]
przyjmuje wartości ujemne.
Szczegółowe wyjaśnienie
Pierwiastków całkowitych szukamy wśród całkowitych podzielników wyrazu wolnego. W tym przypadku -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6. Po sprawdzeniu, że -1 jest pierwiastkiem dzielimy wielomian
[tex]x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6[/tex]
przez
[tex](\: x + 1 \, )[/tex]
i otrzymujemy wielomian drugiego stopnia
[tex]x^2 + x - 6[/tex]
który łatwo rozłożyć na czynniki.
Dzielimy... To byłoby bezpośrednie zastosowanie twierdzenia Bézouta. Ale zapewne na lekcjach korzystaliście z wniosków tego twierdzenia i sprawdzaliście wszystkie całkowite podzielniki. Tego oczywiście nie wiem, bo na Twoich lekcjach nie byłam. Jeżeli nie dzieliliście tylko sprawdzaliście, to procedura byłaby taka
Pierwiastków całkowitych szukamy wśród całkowitych podzielników wyrazu wolnego. W tym przypadku -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6. Po sprawdzeniu otrzymujemy, że pierwiastki to -3, -1 i 2.
Dużo prostsze, prawda? Ale to nie jest zastosowanie twierdzenia Bézouta...
Oczywiście sprawdzanie kończymy po znalezieniu trzeciego pierwiastka, bo jest to wielomian trzeciego stopnia.
Dlaczego -1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6 ? Równie dobrze mogłoby być 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. :-)
Chodzi o to aby zaczynać od najmniejszych, bo wtedy jest najłatwiej liczyć!
