Odpowiedź
Zadanie 1a.
[tex]\displaystyle \left \{ {{3x + y = -2} \atop {2x - y = -3}} \right[/tex]
Już są przeciwne współczynniki −y oraz +y, więc nie potrzeba żadnego z równań przekształcać. Można od razu dodać stronami drugie równanie do pierwszego. ( Drugie zostawiamy bez zmian, wyliczymy z niego zmienną x. )
[tex]\displaystyle \left \{ {{3x + 2x + y - y= -2 - 3} \atop {~~~~~~~2x - y = -3}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~5x = -5} \atop {2x - y = -3}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~x = -1} \atop {2x - y = -3}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~~~~~~~x = -1} \atop {2 \cdot (-1) - y = -3}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~x = -1} \atop {-2 - y = -3}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{x = -1} \atop {~~- y = -3 + 2}} \right[/tex]
[tex]\displaystyle \left \{ {{~~x = -1} \atop {- y = -1}} \right\\\\\\\boxed{ \:\:\: \displaystyle \left \{ {{~~x = -1} \atop { y = 1}} \right \:\:\: }[/tex]
Zadanie 1b.
[tex]\displaystyle \left \{ {{~~x - 4y = -2} \atop {2x + y = 5}} \right[/tex]
W powyższych równaniach nie ma przeciwnych współczynników, tak więc należy jedno z równań przekształcić aby były przeciwne współczynniki. Przekształcę pierwsze równanie aby mieć w nim −2x oraz w drugim (już jest) +2x i móc dodać równania stronami.
[tex]\displaystyle \left \{ {{x - 4y = -2~~~~~~ | \cdot (-2)} \atop {2x + y = 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{-2x + 8y = 4} \atop {~~~2x + ~ y = 5}} \right[/tex]
Do pierwszego równania dodam stronami drugie. Drugie pozostawiam niezmienione, aby z niego potem obliczyć x.
[tex]\displaystyle \left \{ {{-2x + 2x + 8y + y = 4 + 5} \atop {~~~~~~~~~~2x + y = 5}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~9y = 9} \atop {2x + y = 5}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~y = 1} \atop {2x + y = 5}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~~~~~~~y = 1} \atop {2x + 1 = 5}} \right\\\\\\\displaystyle \left \{ {{~y = 1} \atop {2x = 4}} \right[/tex]
[tex]\boxed{ \:\:\: \displaystyle \left \{ {{y = 1} \atop {x = 2}} \right \:\:\: }[/tex]
_________________________________________________________
Dany jest układ równań
[tex]\displaystyle {\begin{cases}- \, \dfrac {2} { \: 3 \: } \,x + \, \dfrac {1} { \: 2 \: } \, y=-1\\\\~~~~~~~~4x - 3y = 6\end{cases}}[/tex]
Wyliczmy zmienną y z pierwszego i drugiego równania.
[tex]\displaystyle {\begin{cases} \dfrac {1} { \: 2 \: } \, y = -1 \: + \: \dfrac {2} { \: 3 \: } \,x \\\\- 3y = 6 - 4x\end{cases}}\\\\\\\displaystyle {\begin{cases} \dfrac {1} { \: 2 \: } \, y = -1 \: + \: \dfrac {2} { \: 3 \: } \,x~~~~~~ | \cdot 2 \\\\- 3y = 6 - 4x~~~~~~~~~~~~| : (-3)\end{cases}}[/tex]
[tex]\displaystyle {\begin{cases}y = -2 \: + \: \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x \\\\y = -2 \, - \, \dfrac {4} { \: -3 \: } \,x\end{cases}}\\\\\\\displaystyle {\begin{cases}y = -2 \: + \: \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x = \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x - 2\\\\y = -2 \: + \: \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x = \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x - 2\end{cases}}[/tex]
Zatem odpowiedź B. Rozwiązaniem podanego układu jest para liczb x oraz y takich, że
[tex]\displaystyle {\begin{cases}x \in \textbb{R}\\\\y = \dfrac {4} { \: 3 \: } \,x - 2\end{cases}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
W ostatnim zadaniu:
A. Para liczby x = 3, y =2 jest tylko jednym z nieskończonej liczby rozwiązań. Innym jest na przykład para x = 0, y = −2.
C. i D. Nie pasują do wyników obliczeń.