Odpowiedź :
1.
Postac ogolna prostej, y = ax+b, punkt ma wspolrzedne A(x, y)
Aby wyznaczyc rownanie prostej przechodzacej przez dwa punkty, nalezy stworzyc uklad rownan dwoch postaci ogolnych, do ktorych podstawimy wspolrzedne obu punktow i go rozwiazemy.
dla: A = (4, -1)
x = 4
y = -1
-1 = 4a+b
dla B = (-2; -4)
x = -2
y = -4
-4 = -2a+b
Rozwiazujemy metoda przeciwnych wspolczynnikow
[tex]\left \{ {{-1=4a+b} \atop {-4=-2a+b/*2}} \right.[/tex]
[tex]+\left \{ {{-1=4a+b} \atop {-8=-4a+2b}} \right. \\-1-8=4a-4a+b+2b\\-9=3b /:3\\-3=b[/tex]
Kiedy znamy b, podstawiamy je do dowolnego z wczesniej wyznaczonych rownan, np. -1=4a+b
-1=4a-3 /+3
-1+3=4a
2=4a/:4
[tex]\frac24=a\\a=\frac12[/tex]
Znajac a i b, mozna wyznaczyc postac ogolna tej prostej
[tex]y=\frac12x-3[/tex]
Koniec zadania :)
2. Symetralna odcinka to taka prosta, ktora przechodzi przez srodek prostej pod katem prostym.
Znajac punkty A i B, wyznaczamy rownanie prostej przechodzacej przez te punkty jak w zadaniu 1:
[tex]\left \{ {{-1=4a+b} \atop {2=5a+b}} \right. \\\left \{ {{-1-4a=b} \atop {2=5a+b}} \right.[/tex]
To rownanie rozwiazemy sobie metoda podstawiania
2=5a+(-1-4a)
2=5a-1-4a /+1
2+1=5a-4a
3=a
-1=4*3+b
-1=12+b /-12
b=-13
y=3a-13
Wyznaczamy srodek odcinka:
[tex]S = (\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2})\\S=(\frac{-1+5}{2}; \frac{4+2}{2})\\S=(2; 3)[/tex]
Wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy symetralnej.
[tex]3*a_2=-1 /:3\\a_2=-\frac13[/tex]
I wyznaczamy rownanie prostej prostopadlej o wspolczynniku kierunkowym a2 przechodzacej przez punkt S
[tex]y=a_2x+b\\3=-\frac13*2+b\\3=-\frac23+b/+\frac23\\3+\frac23=b\\3\frac23=b\\y=-\frac13x+3\frac23[/tex]
Koniec zadania :)
3. Wyznaczamy postac ogolna prostej o rownaniu -2x+3y+6=0
-2x+3y+6=0 /-6
-2x+3y=-6 /+2x
3y=2x-6 /:3
[tex]y=\frac{2x-6}{3}=\frac{2x}{3} - \frac{6}{3}\\y=\frac23x-2[/tex]
a)
Prosta rownolegla musi miec ten sam wspolczynnik kierunkowy co prosta wyjsciowa, czyli w tym wypadku 2/3 i przechodzic przez punkt P(6; -1)
wiec podstawiamy te dane pod postac ogolna
[tex]-1=\frac23*6+b\\-1=4+b /-4\\-1-4=b\\-5=b\\y=\frac23x-5[/tex]
b)
Wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy prostej prostopadlej i podstawiamy pod postac ogolna
[tex]a_1=\frac23\\a_2=?\\a_1*a_2=-1\\\frac23*a_2=-1 /*3\\2a_2=-3 /:2\\a_2=-\frac32\\-1=-\frac32*6+b\\-1=-9+b /+9\\-1+9=b\\8=b\\y=-\frac32x+8[/tex]
Koniec zadania :)
4.
Rownanie okregu:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex]
[tex]x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2[/tex]
gdzie S(a, b) to srodek okregu a r to promien okregu
a)
[tex]x^2+y^2+6x-4y-3=0\\[/tex]
Przeksztalcamy rownanie okregu, zeby uzyskac srodek i promien
[tex]x^2+y^2+6x-4y-3=0\\x^2+6x+0+y^2-4y+0=3\\x^2+2*3*x+9-9+y^2-2*2*y+4-4=3\\(x+3)^2-9+(y-2)^2-4=3\\(x+3)^2+(y-2)^2=3+9+4\\(x+3)^2+(y-2)^2=16\\[/tex]
Przyrownujemy rownanie do postaci ogolnej
[tex]a = -3\\y = 2\\r^2=16\\r=\sqrt{16}=4[/tex]
Srodek okregu to punkt (a,b) wiec S=(-3, 2) a promien to r, wiec r=4
b)
[tex]x^2+(y+2)^2=3[/tex]
Przeksztalcamy rownanie
[tex](x-0)^2=x^2-2*0*x-0^2 = x^2[/tex]
wiec
[tex](x-0)^2+(y+2)^2=3\\a=0\\b=-2\\r^2=3\\r=\sqrt3[/tex]
[tex]S=(0, -2), r=\sqrt3[/tex]
Koniec zadania. :)
5.
A = (-5; 3)
B = (-3; 1)
Jezeli odcinek AB jest srednica, to srodek tego odcinka bedzie srodkiem okregu, a odcinek AO lub OB bedzie promieniem
Szukamy wiec srodka odcinka
[tex]O = (\frac{-5-3}{2}; \frac{3+1}{2})\\O = (\frac{-8}2; \frac{4}{2})\\O = (-4; 2)[/tex]
Wyznaczamy dlugosc odcinka AO
[tex]|AO| = \sqrt{(-4+5)^2+(2-1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\\|AO| = r\\r = \sqrt2\\a = -4\\b = 2\\[/tex]
I nasze dane podstawiamy pod wzor ogolny okregu
[tex](x+4)^2+(y-2)^2=(\sqrt2)^2\\(x+4)^2+(y-2)^2=2\\x^2+8x+16+y^2-4y-4-2=0\\x^2+y^2+8x-4y+10=0[/tex]
Koniec zadania :)
6.
[tex]O: (x-2)^2+(y+3)^2=4[/tex]
[tex]S=(2; -3)\\r^2=4\\r=2\\a=2\\b=-3[/tex]
[tex]l: Ax+Bx+C=0\\l: 3x+4y-4=0\\A=3\\B=4\\C=-4[/tex]
Sprawdzamy odleglosc punktu S od prostej l
[tex]d(S, l) = \frac{|A*a+B*b+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\\d(S, l) = \frac{|3*2+4*(-3)-4|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\d(S, l)=\frac{|6-12-4|}{\sqrt{9+16}}\\d(S,l)=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\\d(S,l)=\frac{10}{5} = 2\\d(S,l)=2[/tex]
Sprawdzamy czy odleglosc punktu S od prostej l jest wieksza, mniejsza lub rowna promieniowi
[tex]r = 2\\d(S,l) = 2\\r = d(S,l)[/tex]
Okrag O i prosta l sa styczne.
Koniec zadania. :)
7.
O: [tex](x+3)^2+(y-5)^2=40\\[/tex]
[tex]A=(-9, 7)[/tex]
[tex]S = (-3, 5)[/tex]
[tex]r^2=40[/tex]
Rownanie stycznej do okregu w tym punkcie
[tex]l: (x_A-x_S)(x-x_S)+(y_A-y_S)(y-y_S)=r^2[/tex]
[tex]x_S=-3\\y_S=5\\x_A=-9\\y_A=7[/tex]
i podstawiamy dane do wzoru:
[tex]l: (-9+3)(x+3)+(7-5)(y-5)=40\\l: -6(x+3)+2(y-5)=40\\l: -6x-18+2y-10=40\\l: -6x+2y=40+18+10\\l: -6x+2y=68\\l: 2y=6x+68 /:2\\l: y=\frac{2(3x+34)}{2}\\l: y=3x+34[/tex]
Koniec zadania :)
8.
Rysunek pomocniczy w zalaczniku.
Mamy trojkat rozwartokatny, wiec zeby poprowadzic wysokosc z punktu C, musimy wyprowadzic wzor prostej l przechodzacej przez punkty A, B, a nastepnie rownanie prostej k prostopadlej do prostej l i przechodzacej przez punkt C.
A.
a)
Wyznaczamy rownanie prostej przechodzacej przez punkty A i B
[tex]\left \{ {{3=2a+b/*(-2)} \atop {5=4a+b}} \right. \\\left \{ {{-6=-4a-2b} \atop {5=4a+b}} \right. \\-1=-b\\b=1\\3=2a+1\\2=2a\\a=1\\l: y=x+1[/tex]
Wyznaczamy rownanie prostej prostopadlej do prostej l przechodzacej przez punkt C
[tex]a_1=1\\a_2=?\\a_1*a_2=-1\\1*a_2=-1\\a_2=-1\\-7=-2*(-1)+b\\-7=2+b\\-7-2=b\\-9=b\\k: y=-x-9[/tex]
b)
Srodkowa to odcinek laczacy punkt ze srodkiem przeciwleglej prostej
Wyznaczamy wiec srodek S odcinka BC a nastepnie rownanie prostej przechodzacej przez punkty AS
[tex]S = (\frac{4-2}{2}; \frac{5-7}{2})S=(\frac{2}{2}; \frac{-2}{2})[/tex]
S=(1; -1)
[tex]\left \{ {{3=2a+b} \atop {-1=a+b}} \right. \\\left \{ {{3=2a+b} \atop {-1-a=b}} \right. \\3=2a+(-1-a)\\3=2a-1-a\\4=a\\-1=4+b\\-5=b\\y=4x-5[/tex]
B.
Aby obliczyc obwod tego trojkata, musimy wyznaczyc dlugosci odcinkow AB, BC i AC
[tex]|AB| = \sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{(2^2+2^2)}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt2[/tex]
[tex]|BC| = \sqrt{(-2-4)^2+(-7-5)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-12)^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt5[/tex]
[tex]|AC|=\sqrt{(-2-2)^2+(-7-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-10)^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}[/tex]
I sumujemy te dlugosci
[tex]Ob = 2\sqrt2+6\sqrt5+2\sqrt{29}[/tex]
C.
Jako ze w przykladzie Aa byla juz mowa o tej wysokosci, to wykorzystamy ja.
Musimy obliczyc odleglosc punktu C od prostej przechodzacej przez punkty AB.
Rownanie prostej przechodzacej przez punkty AB juz znamy:
l: y=x+1
C=(-2, -7)
Przeksztalcamy wzor na prosta l i skorzystamy ze wzoru na odleglosc punktu od prostej
l: x-y+1=0
A=1
B=-1
C=1
a=-2
b=-7
[tex]d(C, l) = \frac{|1*(-2)+(-1)*(-7)+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\d(C, l) = \frac{|-2+7+1|}{\sqrt{1+1}}\\d(C, l) = \frac{|6|}{\sqrt{2}}\\d(C, l)=\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2[/tex]
