Rozwiązane

Zbadaj monotoniczność nieskończonego ciągu An = 6n-6 / n+1



Odpowiedź :

123bodzio

Odpowiedź:

an = (6n - 6)/(n + 1) dla n ∈ N⁺

a(n + 1) = [6(n + 1) - 6]/(n + 1 + 1) = (6n + 6 - 6)/n + 2) = 6n/(n + 2)

a(n + 1) - an = 6n/(n + 2) - (6n - 6)/(n + 1) =

= [6n(n + 1) - (6n - 6)(n + 2)] =

= [6n² + 6n - (6n² - 6n + 12n - 12)]/[(n + 2)(n + 1)] =

= (6n² + 6n - 6n² + 6n - 12n + 12)/[(n + 2)(n + 1)] =

= 12/(n + 2)(n + 1)

Ponieważ (n + 2)(n +1) > 0 dla n ∈ N⁺ więc całe wyrazenie jest większe od 0 i ciąg jest rosnący

HiruSevi

Odpowiedź:

Aby sprawdzić monotoniczność ciągu sprawdzamy różnice jego wyrazów:

[tex]\frac{6(n+1)-6}{(n+1)+1}-\frac{6n-6}{n+1} =\frac{6n}{n+2}-\frac{6n-6}{n+1}=\\=\frac{6n(n+1)-(6n-6)(n+1)}{(n+1)(n+2)} =\frac{12}{(n+1)(n+2)}[/tex]

Rysujemy ten wielomian i sprawdzamy co się dzieje dla x>0.

Widzimy, że dla x>0 funkcja jest nad osią x co oznacza, że nasz ciąg rośnie.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Inne Pytanie