Odpowiedź:
(a, b, c) ∈ {(-12, 39, -28), (-3, -6, 8), (6, 3, -10)}
Szczegółowe wyjaśnienie:
W(x) = x³ + ax² + bx + c
1 + a + b + c = 0 = W(1)
Jeżeli suma wszystkich współczynników wielomianu jest równa 0, to liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu.
Pierwiastki wielomianu są wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r = 3.
Mamy ciąg:
m, m + 3, m + 6
W(x) = (x - m)(x - m - 3)(x - m - 6)
W(1) = 0, więc
(1 - m)(1 - m - 3)(1 - m - 6) = 0
(1 - m)(-m - 2)(-m - 5) = 0
(1 - m)(m + 2)(m + 5) = 0
m = 1 ∨ m = -2 ∨ m = -5
dla:
m = 1 ⇒ (1, 4, 7)
m = -2 ⇒ (-2, 1, 4)
m = -5 ⇒ (-5, -2, 1)
Obliczamy dla każdego przypadku współczynniki wielomianu.
(x - 1)(x - 4)(x - 7) = (x² - 5x + 4)(x - 7) = x³ - 12x² + 39x - 28
(x + 2)(x - 1)(x - 4) = (x² + x + -2)(x - 4) = x³ - 3x² - 6x + 8
(x + 5)(x + 2)(x - 1) = (x² + 7x + 10)(x - 1) = x³ + 6x² + 3x - 10
a = -12, b = 39, c = -28
lub
a = -3, b = -6, c = 8
lub
a = 6, b = 3, c = -10
