Odpowiedź:
aₙ = 0,5·n² + 1
Szczegółowe wyjaśnienie:
Długości kolejnych boków spirali tworzą ciąg liczbowy:
a₁ = 1,5, a₂ = 3, a₃ = 5,5, a₄ = 9, a₅ = 13,5
Szukamy zależności, która powtarza się we wszystkich kolejnych wyrazach tego ciągu.
Przyrost z każdym kolejnym bokiem jest coraz większy (a₂=a₁+1,5, a₃=a₂+2,5, a₄=a₃+3,5, a₅=a₄+4,5), czyli nie jest to ciąg arytmetyczny. Nie jest to także przyrost geometryczny (3:1,5≠5,5:3).
Więc najprawdopodobniej jest to jakaś potęga.
Niestety n² jest za duże, bo np, dla n=5: n²=5²=25, a a₅=13,5
ale 13,5 to tylko o 1 więcej niż połowa 5², czyli: 0,5·5²+1
Zatem wzór byłby: 0,5·n² + 1
Sprawdźmy resztę długości:
a₁ = 0,5·1² + 1 = 0,5·1 + 1 = 0,5 + 1 = 1,5
a₂ = 0,5·2² + 1 = 0,5·4 + 1 = 2 + 1 = 3
a₃ = 0,5·3² + 1 = 0,5·9 + 1 = 4,5 + 1 = 5,5
a₄ = 0,5·4² + 1 = 0,5·16 + 1 = 8 + 1 = 9
a₅ = 0,5·5² + 1 = 0,5·25 + 1 = 12,5 + 1 = 13,5
Zatem wzór na długość n-tego odcinka wzoru to:
aₙ = 0,5·n² + 1
