Witaj :)
To zadanie rozwiążemy korzystając z własności ciągu geometrycznego.
[tex]a_1=2x+1\\\\a_2=3\\\\a_3=x-2[/tex]
"Jeżeli dane mamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, to zachodzi własność, że kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych" , co możemy zapisać jako:
[tex]a_2^2=a_1\cdot a_3[/tex]
Podstawmy nasze wyrazy do powyższej zależności:
[tex]3^2=(2x+1)(x-2)[/tex]
Rozwiążmy otrzymane powyżej równanie:
[tex]9=2x^2-4x+x-2\\\\2x^2-3x-2=9\\\\2x^2-3x-2-9=0\\\\2x^2-3x-11=0[/tex]
Otrzymane równanie, jest równaniem kwadratowym. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę):
[tex]a=2\\\\b= -3\\\\c= -11[/tex]
[tex]\Delta = b^2-4ac\\\\\Delta = (-3)^2-4\cdot 2\cdot (-11)=97\\\\\Delta>0[/tex]
Wyróżnik wyszedł większy od 0, więc powyższe równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}\\\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
Podstawmy nasze dane do powyższych wzorów:
[tex]x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{97} }{2\cdot 2} =\frac{3-\sqrt{97} }{4} \\\\x_2 = \frac{-(-3)+\sqrt{97} }{2\cdot 2} =\frac{3+\sqrt{97} }{4}[/tex]
ODP.: Liczby 2x+1; 3; x-2 tworzą ciąg geometryczny dla:
[tex]x_1=\frac{3-\sqrt{97} }{4}\ \ \ \ \ \ \vee\ \ \ \ \ \ \ x_2 =\frac{3+\sqrt{97} }{4}[/tex]
