Temat: Ciągi - różne zadania
[tex]\huge\boxed{a) \ 3a_9+b_{12}=\boxed{43}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{b) \ 3a_9+b_{12}=\boxed{6(8\sqrt2+1)}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{c) \ 3a_9+b_{12}=\boxed{-8}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{d) \ 3a_9+b_{12}=\boxed9}[/tex]
Jak rozwiązać takie zadanie?
W każdym przykładzie musimy obliczyć dla ciągu aₙ wyraz dziewiąty, a dla ciągu bₙ wyraz dwunasty. W tym celu podstawiamy za niewiadomą odpowiednio liczby 9 oraz 12 pamiętając o kolejności wykonywania działań:
- Działania w nawiasach
- Potęgowanie i pierwiastkowanie
- Mnożenie i dzielenie
- Dodawanie i odejmowanie
Następnie wykonujemy wskazane działanie, czyli suma trzykrotności dziewiątego wyrazu ciągu aₙ i dwunastego wyrazu ciągu bₙ
a)
[tex]a_n=2n-6\\\\a_9=2\cdot9-6=18-6=13\\\\b_n=\frac{1}{4}n+1\\\\b_{12}=\frac{1}{4}\cdot12+1=3+1=4\\\\3a_9+b_{12}=3\cdot13+4=39+4=43[/tex]
b)
[tex]a_n=2^{\frac{n}{2}}\\\\a_9=2^{\frac{9}{2}}=\sqrt{2^9}=\sqrt{2^8\cdot2}=2^4\sqrt2=16\sqrt2\\\\b_n=\frac{n^2+6}{2n+1}\\\\b_{12}=\frac{12^2+6}{2\cdot12+1}=\frac{144+6}{24+1}=\frac{150}{25}=6\\\\3a_9+b_{12}=3\cdot16\sqrt2+6=48\sqrt2+6=6(8\sqrt2+1)[/tex]
Tu wykorzystałam wzór na potęgę z wykładnikiem wymiernym
- [tex]a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}[/tex]
c)
[tex]a_n=(-1)^n\cdot\frac{n-6}{n}\\\\a_9=(-1)^9\cdot\frac{9-6}{9}=-1\cdot\frac{3}{9}=-1\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\\\\b_n=(-1)^{n+1}\cdot\sqrt{4n+1}\\\\b_{12}=(-1)^{12+1}\cdot\sqrt{4\cdot12+1}=(-1)^{13}\cdot\sqrt{48+1}=-1\cdot\sqrt{49}=-1\cdot7=-7\\\\3a_9+b_{12}=3\cdot(-\frac{1}{3})+(-7)=-1+(-7)=-8[/tex]
d)
[tex]a_n=\log_3n\\\\a_9=\log_39=2 \ (\text{bo} \ 3^2=9)\\\\b_n=\log_4(5n+4)\\\\b_{12}=\log_4(5\cdot12+4)=\log_4(60+4)=\log_464=3 \ (\text{bo} \ 4^3=64})\\\\3a_9+b_{12}=3\cdot2+3=6+3=9[/tex]
Tu wykorzystałam definicję logarytmu
- [tex]\log_ab=c\Longleftrightarrow a^c=b[/tex]
