Odpowiedź :
Zadanie 1.
a) [tex]\frac{1}{2}x^2 + x = 4\\0 = \frac{1}{2}x^2 + x - 4 \\\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-4\right) = 1 + 8 = 9\\x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-1-\sqrt{9} }{2 \cdot \frac{1}{2} } = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\\x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\\[/tex]
b) [tex]\frac{1}{4} \left(x^2 - 3x - 10 \right) \leq 0\\\Delta = \left( -3 \right)^2 - 4 \cdot \left( -10 \right) = 49\\x_1 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2\\x_2 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5\\x \in \left( - \infty;\ -2 \rangle \cup \langle 5;\ \infty \right)[/tex]
Zadanie 2.
[tex]-\frac{5}{7} x^2 + 4x + 1 = 0\\\Delta = 4^2 - 4 \cdot \left( - \frac{5}{7} \right) = 16 + \frac{20}{7} = 16 + 2\frac{6}{7} = 18\frac{6}{7} \\x_1 = \frac{-4-\sqrt{18\frac{6}{7}} }{-1\frac{3}{7} } \\x_2 = \frac{-4+\sqrt{18\frac{6}{7}} }{-1\frac{3}{7} }\\[/tex]
[tex]x_1 + x_2 = \frac{-4-\sqrt{18\frac{6}{7}} -4+\sqrt{18\frac{6}{7}} }{-1\frac{3}{7}} = \frac{-8}{-\frac{10}{7} } = -8 \cdot \left(-\frac{7}{10} \right) = 5,6\\x_1x_2 = \frac{\left( -4-\sqrt{18\frac{6}{7}} \right) \left( -4+\sqrt{18\frac{6}{7} \right)} }{\left( -\frac{10}{7} \right) ^2} = \frac{16 -18\frac{6}{7} }{\frac{100}{49} } = \frac{-2\frac{6}{7} }{\frac{100}{49}} = -\frac{20}{7} \cdot \frac{49}{100} = -\frac{20\cdot 7}{100} = -1,4[/tex]
Zadanie 3.
[tex]f(x) = -2x^2 + 3x + 5\\p = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}[/tex]
Wierzchołek zawiera się w danym przedziale, gdyż [tex]-1 < \frac{3}{4} < 2[/tex]. Oznacza to, że największą wartością funkcji będzie [tex]q[/tex]:
[tex]\Delta = 3^2 - 4 \cdot \left( -2 \right) \cdot 5 = 9 + 40 = 49\\q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-49}{-8} = 6\frac{1}{8}[/tex]
Obliczam, która spośród prostych [tex]x = -1[/tex] i [tex]x = 2[/tex] jest bardziej oddalona od prostej [tex]x = 0,75[/tex]:
[tex]0,75 - \left( -1 \right) = 1,75\\2 - 0,75 = 1,25\\1,25 < 1,75[/tex]
Bardziej oddalona jest prosta [tex]x = -1[/tex]. Oznacza to, że [tex]f(-1) < f(2)[/tex]. Przystępuję zatem do obliczenia najniższej wartości funkcji w danym przedziale:
[tex]f(-1) = -2 \cdot \left( -1 \right)^2 + 3 \cdot \left( -1 \right) + 5 = -2 - 3 + 5 = 0[/tex]
Zadanie 4.
Niech [tex]x[/tex] oznacza długość jednego boku ogródka, zaś [tex]y[/tex] – długość drugiego boku ogródka
Wiedząc, że obwód ogródka jest równy [tex]36\ \textup{m}[/tex], wyprowadzam wzór na [tex]y[/tex]:
[tex]2x + y + \left(y - 4\right) = 36\ \ \ \ \ | + 4 - 2a \\2y = 40 - 2x\ \ \ \ \ | \cdot \frac{1}{2} \\b = 20 - x[/tex]
Wiedząc, że pole powierzchni prostokąta jest równe ilorazowi długości jego boków, dokonuję odpowiednich przekształceń:
[tex]P = xy = x\left(20 - x\right) = -x^2 + 20x[/tex]
Pole powierzchni ogródka jest funkcją kwadratową długości jego boku [tex]x[/tex] – [tex]f(x) = -x^2 + 20x[/tex]. Parabola tej funkcji skierowana jest ramionami w dół, gdyż [tex]x < 0[/tex]. Stąd wiadomo, że funkcja największą wartość osiąga w wierzchołku paraboli.
Obliczam wartość wyróżnika funkcji kwadratowej oraz wartość parametru [tex]p[/tex]:
[tex]\Delta = 20^2 = 400\\p = \frac{-20}{-2} = 10[/tex]
Funkcja osiąga największą wartość dla [tex]x = 10[/tex]. Przystępuję do obliczenia maksymalnej wartości funkcji:
[tex]f(10) = -10^2 + 20 \cdot 10 = -100 + 200 = 100[/tex]
Teraz mogę obliczyć długość boku [tex]y[/tex]:
[tex]y = \frac{P}{x} = \frac{100}{10} = 10[/tex]
Jak widać prostokąt ma największe pole powierzchni wówczas, kiedy jest kwadratem.
Odpowiedź: Ogródek powinien mieć wymiary [tex]10\ \textup{m} \times 10\ \textup{m}[/tex].
